Encuentra el radio del círculo tangente a $x^2, \sqrt{x}, x=2$

Question

Estoy retomando un post que fue cerrado por falta de contexto porque estoy muy interesado en él :

Sea $(a,b)$ el centro de este círculo. Parece intuitivo que $b=a$, pero no he podido demostrarlo formalmente, aunque sé que dos funciones recíprocas son simétricas respecto a la primera bisectriz $y=x$.

Luego sea $(X,X^2)$ el punto de tangencia con $y=x^2$. Creo que vamos a utilizar la fórmula para la distancia de $(a,a)$ a la recta $y-X^2=2X(x-X)$.

Claramente tenemos la relación $r=2-a$. La normal a $(X,X^2) $ pasa por $(a,a)$

No estoy seguro si mis notaciones son las mejores para resolver elegantemente el ejercicio. Espero que compartas mi entusiasmo por este encantador ejercicio que acabo de descubrir gracias a MSE.

Answer 1

COMENTARIO.- Tu idea de usar la normal a una curva es buena. Tienes dos soluciones dadas por los dos círculos $$\left(x-\dfrac53\right)^2+\left(y-\dfrac53\right)^2=\left(\dfrac13\right)^2\\(x-1.43)^2+(y-0.57)^2=0.56^2$$

Tu problema es interesante y te dejo resolverlo por ti mismo.

Answer 2

Algunas soluciones están en la línea $y = x$. Lo contrario no es cierto, como lo muestra Jan-Magnus Økland.

La razón es que $y = \sqrt{x}$ es la función inversa de $y = x^2$ para $x\geq 0$, por lo tanto su gráfica es la reflexión de la gráfica de $y = x^2$ sobre la línea $y = x$. Por lo tanto, para cualquier círculo en la línea $y = x$ que toque a $y = x^2$, también toca a $y = \sqrt{x}$. La línea $x = 2$ puede hacerse tangente moviendo el centro del círculo sobre la línea $y = x$.

Sea $T(x_t,x^2_t)$ el punto tangente entre el círculo y la parábola. El vector tangente en T es entonces $(1,2x)$, en consecuencia: $$(a-x_t) + (a-x^2_t)2x_t=0 \Rightarrow a = x_t\frac{1+2x^2_t}{1+2x_t}$$ El radio del círculo es $$r=\sqrt{(a-x_t)^2+(a-x^2_t)^2} = \left|2 - a\right|$$ Un poco de transformación y obtenemos: $$(2x^3_t-2x^2_t)^2+(x_t-x^2_t)^2=(2x^3_t-3x_t-2)^2$$ Desafortunadamente esta ecuación no tiene una solución bonita, así que tendrás que calcular numéricamente Esto es lo que encontré en Wolfram Alpha:

$x_t\approx -0.441229$; $x_t\approx 1.33284$; $x_t\approx 2.05075$

Luego podemos calcular $a$ y $r$

El círculo que mostraste tiene $a \approx 1.6554$ y $r \approx 0.34456$

Answer 3

Sea $ Q (b, b ^ 2) $ y $ P (a, \sqrt a) $ los puntos de tangencia del círculo en las curvas $ y = x ^ 2 $ , $ y = \sqrt x $ respectivamente. Luego, la intersección de las rectas tangentes correspondientes es $$ R \ left (\ frac {2 \ sqrt a \, b ^ 2 + a} {4 \ sqrt a \, b-1}, \ frac {2ab + b ^ 2} {4 \ sqrt a \, b-1} \ right) $$ . Dado que $ QO = PO $ donde $ O $ es el centro del círculo, tenemos $ QR = PR $ . Ahora $ QR ^ 2 = PR ^ 2 $ da $$ (2a-2b) (2 \ sqrt a \, b ^ 2 + a) + (2 \sqrt a-2b ^ 2) (2ab + b ^ 2) = (a ^ 2 + a-b ^ 4-b ^ 2) (4 \ sqrt a \, b-1) $$ . WolframAlpha encuentra que $ b = \sqrt a $ . Todavía estoy mirando la ecuación.

Cuando $ b = \sqrt a $ , tenemos dos soluciones del problema en OP. El círculo más pequeño tiene el centro $ O \ approx (1.65544,1.65544) $ y radio $ r \ approx 0.34456 $ .