\begin{cases} ~\frac{\partial p}{\partial t}=c_0^2\rho_0\left(\frac{v_r}{r}+\frac{\partial v_r}{\partial r}\right)=c_0^2\rho_0\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(rv_r\right)\\ ~\frac{\partial v_r}{\partial t}=\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p}{\partial r} \end{cases} $$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=c_0^2\rho_0\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial v_r}{\partial t}\right)=c_0^2\rho_0\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p}{\partial r} \right)$$ $$\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}=c_0^2\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial p}{\partial r} \right)=c_0^2\left(\frac{\partial p}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial^2 p}{\partial r^2}\right)$$ Búsqueda de una solución particular con variables separadas, en la forma $p=R(r)T(t)$ : $$\frac{T''}{T}=\frac{R'}{R}+\frac{1}{r}\frac{R''}{R}=\lambda=\text{constante}$$ $$\begin{cases} T''-\lambda T=0\quad\implies\quad T(t)=C_1e^{-\sqrt{\lambda}\:t} +C_2e^{\sqrt{\lambda}\:t}\\ R''+r R'-\lambda r R=0\quad\implies\quad\end{cases}$$ $ R(r)=e^{r(\lambda+\frac{r}{2})}\left(c_1 M\left( \frac{1-\lambda^2}{2}\:;\:\frac12\:;\:(\lambda+\frac{r}{2})^2\right) +c_2\:U\left( \frac{1-\lambda^2}{2}\:;\:\frac12\:;\:(\lambda+\frac{r}{2})^2\right) \right) $
$M$ denota la función hipergeométrica confluente de Kummer de primer tipo.
$U$ denota la función hipergeométrica confluente de Kummer de segundo tipo.
http://mathworld.wolfram.com/ConfluentHypergeometricFunctionoftheFirstKind.html
http://mathworld.wolfram.com/ConfluentHypergeometricFunctionoftheSecondKind.html
La solución general de la EDP es cualquier combinación lineal de las soluciones particulares. En forma integral: $ P(r,t)=\int \left(F_1(\lambda)e^{-\sqrt{\lambda}\:t} +F_2(\lambda)e^{\sqrt{\lambda}\:t} \right)e^{r(\lambda+\frac{r}{2})}\left(f_1(\lambda) M\left( \frac{1-\lambda^2}{2}\:;\:\frac12\:;\:(\lambda+\frac{r}{2})^2\right) +f_2(\lambda)\:U\left( \frac{1-\lambda^2}{2}\:;\:\frac12\:;\:(\lambda+\frac{r}{2})^2\right) \right) d\lambda$
$F_1$ , $F_2$ , $f_1$ , $f_2$ son funciones arbitrarias de $\lambda$. Se deben determinar según algunas condiciones iniciales y de contorno.
Alternativamente, la solución se puede expresar en forma discreta en lugar de en forma integral, con muchos coeficientes arbitrarios, nuevamente a determinarse según algunas condiciones iniciales y de contorno.
Esta es una tarea ardua que requiere que las condiciones iniciales y de contorno estén muy clara y completamente especificadas. Sin una definición cuidadosa de las condiciones, hay un infinito de soluciones para la EDP. Con tales funciones hipergeométricas confluente, uno puede temer cálculos y soluciones muy complicadas. Pero es probable que ocurran simplificaciones para algunos casos particulares, posiblemente evitando el camino de la separación de variables y evitando las funciones especiales complicadas.
