¿Puedo simplemente convertir una integral en una esperanza al "declarar" que la variable es una variable aleatoria?

Question

Conozco que

$\int_{a}^{b}g(x)dx = (b-a)\int_{a}^{b}g(x)\frac{1}{b-a}dx = (b-a)E[g(X)]$

donde $X$ tiene una distribución $Uniform(a,b)$.

Sin embargo, no entiendo cómo el segundo paso convierte la integral en un valor esperado. Es como si simplemente pudiera "declarar" que $X$ es una variable aleatoria. De alguna manera, parece que estoy haciendo algún tipo de magia en la ecuación, y me pregunto si me estoy perdiendo un paso.

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, esto funciona porque se deriva de la definición de la esperanza de una variable aleatoria continua.

Considere una variable aleatoria continua $X$ definida en algún intervalo $I$ con alguna distribución con función de densidad de probabilidad $f_X(x)$. Entonces,

$$\Bbb E[g(X)]:=\int_I g(x)f_X(x)~\mathrm dx$$

La pregunta aquí corresponde a $X\sim\mathrm{Unif}(a,b)$ para el cual $f_X(x)=\frac 1{b-a}$ para $x\in [a,b]$ y $0$ de lo contrario, entonces tenemos,

$$\Bbb E[X]:=\int_a^b g(x)\frac 1{b-a}~\mathrm dx\implies (b-a)\Bbb E[X]=\int_a^b g(x)~\mathrm dx$$