¿Cómo está relacionado este teorema del punto fijo con el axioma de elección?

Question

Espero que la respuesta a esto sea bien conocida.

Sea $X$ un conjunto ordenado (es decir, poset). Un operador inflacionario $f$ en $X$ es una función $f: X \to X$, no necesariamente preservadora del orden, tal que $f(x) \geq x$ para todo $x \in X$. Estoy interesado en el siguiente resultado:

Teorema Sea $X$ un conjunto ordenado en el cual cada cadena tiene una cota superior. Entonces todo operador inflacionario en $X$ tiene un punto fijo.

Mis preguntas:

¿Se puede demostrar este teorema sin el axioma de elección? ¿Implica el axioma de elección? ¿O es equivalente a alguna forma débil de elección?

Aquí uso las palabras "sin", "implicar" y "equivalente" en el sentido común, es decir, tomando como dado que podemos usar otros axiomas estándar de teoría de conjuntos, como ETCS sin elección o ZF.

Antecedentes

Este teorema del punto fijo es "equivalente" al lema de Zorn en el sentido informal estándar de que uno se puede deducir fácilmente del otro. De hecho, el teorema se sigue de Zorn porque un elemento maximal es un punto fijo para cualquier operador inflacionario. A la inversa, el teorema implica Zorn: define un operador inflacionario $f$ tomando $f(x) = x$ cuando $x$ es maximal y eligiendo algún $f(x) > x$ de lo contrario.

Eso está bien, pero dado que tanto mi prueba del teorema como mi prueba de Zorn a partir del teorema involucran el axioma de elección, no ayuda a responder mis preguntas anteriores.

El teorema del punto fijo está muy cerca de algunos resultados que no requieren elección. Por ejemplo, el teorema del punto fijo de Bourbaki-Witt establece que en un conjunto ordenado donde cada cadena tiene una cota superior menor, cada operador inflacionario tiene un punto fijo. Eso se puede demostrar sin elección. Incluso puedes debilitar la hipótesis para afirmar que cada cadena tiene una cota superior específica (es decir, existe una función que asigna una cota superior a cada cadena), y no necesitas elección. Pero ninguno de estos resultados es tan fuerte como el teorema anterior, al menos superficialmente.

Answer 1

Voy a deducir el Lema de Zorn a partir de tu teorema del punto fijo. Supongamos que $P$ es un conjunto parcial violando el Lema de Zorn; por lo tanto, todas las cadenas en $P$ tienen cotas superiores, pero no hay un elemento maximal. Considera el conjunto parcial $Q=P\times\omega$ con el orden lexicográfico; es decir, en $P$ reemplaza cada elemento por una cadena ordenada como el conjunto $\omega$ de números naturales. Afirmo que este $Q$ sirve como un contraejemplo a tu teorema del punto fijo. El mapa $(p,n)\mapsto(p,n+1)$ es inflacionario y no tiene punto fijo en $Q$. Por lo tanto, solo queda probar que, en $Q$, cada cadena tiene una cota superior.

Considera cualquier cadena $C$ en $Q$. Los primeros componentes $p$ de los elementos $(p,n)\in C$ constituyen una cadena $C'$ en $P$, y según la suposición $C'$ tiene una cota superior $b$ en $P$. Si $b\notin C'$, entonces $(b,0)$ servirá como cota superior para $C$ en $Q$. Si, por otro lado, $b\in C'$, entonces utiliza la suposición de que $P$ no tiene un elemento maximal para obtener algún $b'$ estrictamente arriba de $b$ en $P$; entonces $(b',0) es una cota superior para $C$ en $Q$.