Hay $N$ números de enteros positivos de 11 dígitos tales que los dígitos de izquierda a derecha son no decrecientes, por ejemplo $12345678999,55555555555,23345557889$. Encuentra la suma de todos los dígitos de $N$.
Por favor ayúdame con este.
Respuestas
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harezmi
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57
CONSEJO
En este tipo de problemas, debemos encontrar cuántos números hay donde el primer dígito es $1$ o $2$, etc. y cuántos números hay donde el segundo dígito es $1$ o $2$, etc. Los encontrarás hasta $11$ dígitos.
El segundo problema es encontrar el número de arreglos posibles. En este caso, la biyección nos ayuda. Todo lo que necesitamos hacer es seleccionar $11$ dígitos entre $1,2,3,..,8,9$ cuando se permite la repetición, el arreglo del número se manejará automáticamente. Puedes hacerlo utilizando la fórmula de combinación con repetición.
Por cierto, notar que no tomamos el $0$ en nuestro conjunto, porque si lo tomamos, siempre será el primer dígito y no será un número de $11$ dígitos.
Por ejemplo, cuando el primer dígito es $1$, hay $10+9-1 \choose 10$ arreglos posibles.
Después de eso, encuentra la suma de todos los dígitos, $10^{10} \times 18 \choose 10$ te dará el caso donde el primer dígito es $1$.
Creo que puedes continuar desde aquí.
Garvit ahuja
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1
Esta es una buena pregunta. Primero, haz 11 guiones y nómbralos según su posición
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Entonces, por ejemplo, tomamos un cierto valor para el lugar 10, digamos que es 1. Entonces, los valores posibles para el lugar 11 son 9, es decir, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 De manera similar, si el valor del lugar 10 es 2, los valores posibles para el lugar 11 son 8, y así sucesivamente. Por lo tanto, podemos concluir que el número total de valores para el lugar 11 si el lugar 1 está fijo = 9+8+7+6+5+4+3+2+1 Ahora, si fijamos el lugar 9, digamos que su valor es 1, el número total de combinaciones para el lugar 10 y el lugar 1 es 45 Para 2, es 45- (el número de combinaciones del lugar 11 cuando el lugar 10 es 1) = 45-9 = 36 Para 3, es 36- (el número de combinaciones del lugar 11 cuando el lugar 10 es 2) = 36-8 = 28 Y así sucesivamente.... Continúa este proceso hasta fijar el valor del lugar 1. Las ecuaciones formadas son las siguientes:
Lugar 10 fijo: 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45
Lugar 9 fijo: 45+36+28+21+15+10+6+3+1=165
Lugar 8 fijo: 165+120+84+56+35+20+10+4+1=495
Lugar 7 fijo: 495+330+210+126+70+35+15+5+1=1287
Lugar 6 fijo: 1287+792+462+252+126+56+21+6+1=3003
Lugar 5 fijo: 3003+1716+924+462+210+84+28+7+1=6435
Lugar 4 fijo: 6435+3432+1716+782+330+120+36+8+1=12870
Lugar 3 fijo: 12870+6435+3003+1287+495+165+45+9+1=24310
Lugar 2 fijo: 24310+11440+5005+2002+715+220+55+10+1=43758 Lugar 1 fijo: 43758+19448+8008+3003+1001+286+66+11+1=75582 Por lo tanto, N=75582
La suma de los dígitos de N=7+5+5+8+2=27
Respuesta: 27
¡Espero que ayude!
