Un subgrupo abelian de grupo simétrico

Question

Problema: Que $G$ ser un subgrupo abelian del grupo simétrico $S_n$ y $p_1, . . . , p_k$ ser todos primeros divisores de $|G|$. Demostrar que $n≥p_1 +···+p_k$.

Pregunta: Cómo resuelves este problema. He pensado sobre el uso de los teoremas de Sylow, pero parece que no puedo conseguir la desigualdad final.

Answer 1

Estoy asumiendo que estos son los distintos primer divisores de $|G|$. En ese caso $G$ tiene un elemento de orden $p_1p_2\cdots p_k$ ya que es abelian. El orden de un elemento de $S_n$ es el mínimo común múltiplo de la longitud de sus ciclos disjuntos. Estas longitudes deben sumar a un número menor o igual a $n$. Puesto que el $p_i$ es de los primeros, debe haber al menos un ciclo de longitud divisible por cada uno de los números primos (con algunas duraciones del ciclo posiblemente múltiplo de varios números primos). Desde $xy\geq x+y$ siempre $x,y\geq 2$, el más pequeño posible de la suma de las longitudes de los ciclos en el elemento con este fin es $p_1+p_2+\cdots+p_k\leq n$.