Demostrando la completitud de sistemas modales

Question

Al leer a través de Modal Logic de Chellas, estoy tratando de entender su demostración de completitud. Aquí está mi mejor esquema de su demostración:

Si $\Sigma$ es cualquier sistema normal de lógica modal entonces tiene un modelo estándar canónico adecuado, y cada modelo estándar canónico adecuado es un modelo estándar canónico. Por lo tanto, cada sistema tiene al menos un modelo estándar canónico. Si $\mathcal{M}$ es un modelo estándar canónico adecuado y $\mathcal{M}\in\mathrm{C}$ es una clase de modales que lo contiene, y $A$ cualquier oración, entonces $\vDash_{C}A \quad \Rightarrow \quad \vDash^{M}A \quad \Rightarrow\quad \vdash_{\Sigma}A$ de manera que $\Sigma$ es completa con respecto a $C.

Ahora, por supuesto, mi pregunta puede basarse en un malentendido de su prueba, pero si mi comprensión es correcta, entonces esto parece probar que todo sistema de lógica modal es completo, ya que cada uno tiene un modelo estándar canónico adecuado.

¿Es que no deberíamos estar hablando de la completitud de un sistema en sí, sino solo de la completitud con respecto a alguna clase? ¿Significaría eso que tenemos que elegir primero una clase y luego, aunque sepamos que el sistema tiene un modelo canónico adecuado, tenemos que mostrar que el modelo canónico estándar adecuado que creamos realmente está en la clase que hemos elegido?

Si eso es correcto, ¿cómo probaríamos, por ejemplo, la completitud de $K5$, asumiendo que es completo? ¿Qué clase elegiríamos? Siento que tengo algún tipo de malentendido fundamental sobre el objetivo o el método o ambos.

Answer 1

Estoy tratando de resumir el problema sin entrar en demasiados detalles.

Tenemos que comenzar desde el lenguaje de la lógica modal, con el "operador" $\Box$, y su interpretación semántica, siguiendo a Kripke.

Por supuesto, queremos que el cálculo de la lógica modal sea sonoro y completo con respecto a la semántica; y así lo es.

El primer paso es demostrar que toda tautología es válida. El conjunto de tautologías (tomadas como axiomas) y la regla de inferencia modus ponens constituirán la base de todas las lógicas modales. Por lo tanto, tenemos que mostrar que todas las tautologías son válidas, y que la regla de modus ponens preserva la validez.

El siguiente paso es considerar el sistema K (el sistema "básico" de la lógica modal, es decir, el sistema de lógica modal normal más débil). Demostramos que la lógica K es sonora, es decir, que todo teorema de K es válido. Hacemos esto mostrando que el axioma $K$ es válido y que la regla de necesitación preserva la validez. Esto, junto con la demostración anterior de que las tautologías son válidas y que mp preserva la validez, garantiza la sonoridad de K.

Con los modelos de Kripke, también podemos mostrar la invalidez de algunos esquemas, como $\Box \varphi \to \Diamond \varphi$.

También resultan ser inválidos otros esquemas :

$\varphi \to \Box \Diamond \varphi$ (B)

o

$\Box \varphi \to \Box \Box \varphi$ (4)

o

$\Box (\varphi \lor \psi) \to (\Box \varphi \lor \Box \psi)$.

Pero algunos de estos esquemas siguen siendo "interesantes" desde un punto de vista modal; así que tenemos un paso adicional. Observamos algunos esquemas inválidos que sin embargo resultan ser válidos con respecto a cierta clase de modelos, en el sentido de ser verdaderos en todos los modelos de una cierta clase. Algunas de estas fórmulas serán válidas con respecto a todos los modelos en los que la relación de accesibilidad cumple cierta condición.

El esquema $4$ resulta ser válido con respecto a la clase de modelos que tienen una relación de accesibilidad transitiva. Una vez que hemos visto que un esquema $S$ es válido con respecto a cierta clase interesante $\mathsf C$ de modelos, somos capaces de mostrar que la lógica modal normal basada en $S$ (es decir, teniendo a $S$ como esquema axioma) es sonora con respecto a $\mathsf C$, es decir, que todo teorema de la lógica basada en S es válido con respecto a $\mathsf C$.

Por ejemplo, la lógica modal K4 tiene las tautologías, instancias de $K$, e instancias del esquema $4$ como axiomas, y tiene como teoremas todas las fórmulas derivables de éstas por modus ponens y necesitación. Podemos demostrar que todo teorema de la lógica modal normal K4 es válido con respecto a la clase de modelos transitivos. Luego mostramos que K4 es completa con respecto a la clase de modelos transitivos, demostrando que las fórmulas que son válidas en la clase de modelos transitivos son teoremas de K4.

Intuitivamente, añadir axiomas a la lógica modal "básica" K, restringirá el "número" de modelos. El problema es encontrar una "caracterización" adecuada de esta lógica en términos de una clase de modelos, es decir, la clase de todos los modelos con una "característica" especial con respecto a la relación de accesibilidad.

Ver Modal Axioms and Conditions on Frames :

Cada uno de los axiomas de lógica modal que hemos discutido corresponde a una condición en los marcos de la misma manera. La relación entre las condiciones en los marcos y los axiomas correspondientes es uno de los temas centrales en el estudio de las lógicas modales. Una vez que se ha decidido una interpretación del operador intensional $\Box$, se pueden determinar las condiciones apropiadas sobre $R$ [la relación de accesibilidad] para fijar la noción correspondiente de validez. Esto, a su vez, nos permite seleccionar el conjunto correcto de axiomas para esa lógica.

Answer 2

No he leído a Chellas pero me referiré a la nueva edición de 'Introducción a la Lógica Modal de Hughes y Cresswell' para un tratamiento extenso de tu pregunta. La completitud de una lógica modal también depende de los axiomas elegidos.