¿Qué principio topológico está en juego aquí?

Question

[Estoy compartiendo esto desde MSE. Inicialmente pregunté allí hace 10 días, y la pregunta fue bien recibida, pero quedó sin respuesta.]

Mi pregunta está inspirada en un problema que descubrí en Putnam and Beyond, #470, pg. 142:

¿Existe una función continua $f : [0, 1] \rightarrow \mathbb R$ que asume cada elemento de su rango un número par (finito) de veces?

La respuesta es sí, y proporcionan una caricatura de una solución en la pg. 542:

Esta solución consiste en infinitos segmentos lineales en el vecindario del 0. Se puede demostrar que cualquier solución debe tener infinitos puntos extremos locales.

Mientras pensaba en este problema, noté que depende delicadamente del dominio. Si el dominio fuera el círculo $S^1$, entonces existen soluciones mucho más simples, como $e^{i\theta} \mapsto \cos(2\theta)$.

De manera similar, si el dominio fuera una unión de dos intervalos disjuntos $[0,1]\cup [2,3]$, entonces $x\mapsto \left(x-\frac{3}{2}\right)^2$ funciona.

Si el dominio fuera un solo intervalo semicerrado $[0,1)$, entonces $\cos(4\pi x)$ funciona.

Pregunta: ¿Hay una caracterización topológica de qué dominios admiten soluciones "fáciles" a este problema?

Comentarios:

• Dejo abierta la pregunta de qué constituye una solución "fácil", aunque he notado que "por partes monótona con un número finito de segmentos monótonos" es suficiente para distinguir todos los ejemplos anteriores.
• Mi intuición difusa para este problema es que hay una especie de paridad en los dominios 1D, con un intervalo cerrado teniendo paridad impar, un punto con paridad impar, un círculo con paridad par, las uniones tienen paridad igual a la suma de los componentes, etc.
• Conjeturo que una generalización de este problema a espacios de dimensiones superiores $X$ podría ser considerar mapas $X\rightarrow X$ que golpean cada punto en el dominio un número par de veces.

Answer 1

EDITAR: He añadido un argumento al final que demuestra una afirmación más general y lo hace de manera más simple.

Mostraré que si $X$ es un complejo simplicial finito con característica de Euler par entonces hay un mapa lineal a trozos de $X$ a un simplejo (de la misma dimensión que $X$) tal que la preimagen de cada punto tiene un número par de elementos. De hecho, el mapa será simplicial con respecto a la segunda subdivisión baricéntrica $X''$.

(*) Para cualquier complejo simplicial $Y$ de dimensión $\le n$ especificamos un mapa simplicial $Y'\to \Delta^n$ desde la subdivisión baricéntrica de $Y$ hasta el simplejo estándar indicando hacia dónde van los vértices. Enviamos el baricentro de cualquier $p$-simplejo al $p$-ésimo vértice $v_p\in \Delta^n$ (y extendemos linealmente sobre cada simplejo de $Y'$).

Por supuesto, el vértice $v_p$ es alcanzado un número par de veces si $Y$ tiene un número par de $p$-simplejos. Afirmo que si este es el caso para todo $p$ entonces cada punto es alcanzado un número par de veces.

Para probar esta afirmación, consideremos que $0\le p_0<\dots . Consideremos puntos en el interior de la cara de dimensión $m$ de $\Delta^n$ con vértices $v_{p_j}$. El tamaño de la preimagen de dicho punto es el número de $m$-simplejos en $Y'$ que se mapean en esa cara. Esto es el número de "banderas" $\sigma_0<\dots <\sigma_m$ en $Y$ donde la dimensión de $\sigma_j$ es $p_j$ para todo $j$. Esto es divisible por el número de $p_m$-simplejos.

En vista de la afirmación, ahora basta con mostrar que si la característica de Euler de $X$ es par entonces $X'$ tiene un número par de simplejos en cada dimensión (y luego tomar $Y$ como $X'$).

De hecho, si $p>0$ entonces el número de $p$-simplejos de $X'$ siempre es par. Por ejemplo, el número de $1$-simplejos de $X'$ es la suma, sobre todos los $d$ y todos los $d$-simplejos de $X$, del número ($2^{d+1}-2$) de caras propias de un simplejo de dimensión $d$.

Por lo tanto, el número de $0$-simplejos de $X'$ siempre tiene la misma paridad que la característica de Euler de $X$.

Recíprocamente, si $X\to Z$ es un mapa lineal a trozos tal que cada punto es alcanzado un número par de veces entonces, eligiendo triangulaciones de manera que el mapa sea simplicial, encontramos que $X$ tiene un número par de simplejos en cada dimensión y, por lo tanto, tiene una característica de Euler par.

EDITAR: De hecho, lo siguiente es cierto. Para un espacio PL compacto $X$ y un entero $k>0$, lo siguiente son equivalentes. Sea $c_p(K)$ el número de simplejos en un complejo simplicial finito $K$.

1. $k$ divide a la característica de Euler $\chi(X)$.

2. Para alguna triangulación $K$ dentro de la estructura PL de $X$, $k$ divide a todos los números $c_p(K)$.

3. Para alguna triangulación $K$ dentro de la estructura PL de $X$, hay un mapa simplicial $f:K\to L$ (para algún complejo simplicial $L$) tal que la dimensión de $f(\sigma)$ es igual a la dimensión de $\sigma$ para cada simplejo $\sigma$ de $K$, y tal que para cada simplejo $\tau\in L$ el número de $\sigma\in K$ tal que $f(\sigma)=\tau$ es (finito y) divisible por $k$.

4. Existe un mapa PL $f:X\to Y$ (para algún espacio PL $Y$) tal que la preimagen de cada punto es finita y tiene cardinalidad divisible por $k$.

Prueba: 3 y 4 son equivalentes, básicamente directo de las definiciones.

2 claramente implica 1. Para ver que 1 implica 2, sea $K'$ la subdivisión de aristas $k$-ésima de $K$. Entonces $c_p(K')=k^pc_p(K)+\sum_{q>p}a_{p,q}c_q(K)$ para ciertos enteros $a_{p,q}$. Se sigue que si $k$ divide a $c_q(K)$ para todo $q>p$ entonces $k$ divide a $c_q(K')$ para todo $q\le p$, siempre que $p>0$. Por lo tanto, aplicando repetidamente este operador de subdivisión podemos hacer que $c_q(K)$ sea divisible por $k$ para todo $q>0$. Si además $k$ divide a $\chi(X)$, entonces $k$ también debe dividir a $c_0(K)$.

3 claramente implica 2. Para ver que 2 implica 3, use la subdivisión baricéntrica como en mi respuesta original: Si $K$ es tal que $k$ divide a $c_q(K)$ para todo $q\ge 0$ entonces, tomando $K'$ como la subdivisión baricéntrica, el mapa simplicial $K'\to \Delta^n$ descrito en el párrafo marcado (*) anteriormente cumple con la condición de 3.