Tasa de decaimiento asintótico de un producto infinito de funciones sinc

Question

(relacionado con mi pregunta anterior)

Considera la función $$f(x)=\prod_{n=0}^\infty\operatorname{sinc}\left(\frac{\pi \, x}{2^n}\right),\quad\color{gray}{x\ge0},\tag1$$ donde $\operatorname{sinc}(z)$ denota la función sinc. La función $f(x)$ tiene ceros en enteros positivos y oscila con una amplitud de rápido decaimiento. Sus signos en los intervalos entre ceros consecutivos siguen el mismo patrón que la sucesión de Thue–Morse.

¿Podemos encontrar una función de valor real $g(x)$ (elemental, si es posible), tal que sea analítica, positiva y monótona decreciente (y que tenga derivadas monótonas de cualquier orden, si es posible) y satisfaga $$\lim_{t \to \infty} \frac 1 {t-t_0} \int_{t_0}^t \frac{|f(x)|}{g(x)} \, dx=1\tag2$$ para un $t_0$ lo suficientemente grande? O, al menos, $$\color{gray}{\exists A > 0, \, \exists B > A, \, \forall t > t_0,} \, A < \frac 1 {t-t_0} \int_{t_0}^t \frac{|f(x)|}{g(x)} \, dx < B\tag3$$ para un $t_0$ lo suficientemente grande?

La disposición "para un $t_0$ lo suficientemente grande" significa que se permite que $g(x)$ no sea monótona, o tenga ceros o discontinuidades, o no esté definida en absoluto para $t$ pequeñas, y solo nos importa su comportamiento "eventual".

Empíricamente, parece que $g(x)$ debería decaer más rápido que cualquier potencia negativa de $x$, pero más lento que exponencialmente. Estoy pensando en algo cercano a $\exp(-\log^2x)$, pero tal vez no exactamente así.

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Actualización: Tal vez esta expansión pueda ser útil: $$\prod _{n=0}^m \operatorname{sinc}\left(\frac{\pi\,x}{2^n}\right) = \frac{2^{\binom m2}}{(\pi\,x)^{m+1}} \sum_{n=0}^{2^m-1} t_n\,\sin\left(\!\frac {\pi\,m}2+\frac{2n+1}{2^m}\,\pi\,x\!\right),\tag4$$ donde $t_0=1,\,t_n=(-1)^n\,t_{\lfloor n/2\rfloor}$ (la sucesión de Thue–Morse con signo).

Answer 1

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$\mathbf{\text Definición}$

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Sea $$R(x) = \prod_{n=0}^\infty\mathrm{sinc}\dfrac{\pi x}{2^n}.\tag1$$

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$\mathbf{\text{Fórmulas para } {sinc(\pi z)}}$

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Usando las fórmulas de simetría para la función gamma $$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\dfrac\pi{\sin(\pi z)}\tag2$$ fácil de obtener $$\dfrac{\sin(\pi z)}{\pi z} = \dfrac1{z\Gamma(z)\Gamma(1-z)},$$ $$\mathrm{sinc(\pi z)} = \dfrac1{\Gamma(1+z)\Gamma(1-z)},\tag3$$ $$\ln\mathrm{sinc}(\pi z) = -\left(\ln\Gamma(1+z)+\ln\Gamma(1-z)\right).\tag4$$

Usando la serie de Maclaurin en la forma de $$\ln\Gamma(1+z)=-\ln(1+z)+(1-\gamma)z + \sum\limits_{j=2}^\infty(-1)^j\dfrac{\zeta(j)-1}{j}z^j,\quad |z|<2,\tag5$$ donde $\gamma = 0.57721...,$ se puede obtener $$\ln\Gamma(1-z)=-\ln(1-z)-(1-\gamma)z + \sum\limits_{j=2}^\infty\dfrac{\zeta(j)-1}{j}z^n,\quad$$ $$\ln\mathrm{sinc}(\pi z)=\ln(1-z^2) - \sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{\zeta(2k)-1}{k}z^{2k}.$$ La función Zeta del argumento par es $$\zeta(2k) = \dfrac{(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}|B_{2k}|,\tag6$$ donde $B_{2k}$ son los números de Bernoulli. Entonces $$\ln\mathrm{sinc}(\pi z)=\ln(1-z^2) - \sum\limits_{k=1}^\infty c_k z^{2k},\tag7$$ donde $$c_k = \dfrac1{2k}\left(\dfrac{(2\pi)^{2k}}{(2k)!}|B_{2k}|-2\right).\tag8$$

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$\mathbf{\text{Fórmulas para R(x)}$}

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Encontremos la suma \begin{align} &\ln R_m(x) = \sum_{n=m}^\infty \ln\mathrm{sinc}\dfrac{\pi x}{2^n},\\ \end{align}

\begin{align} &\ln R_m(x) = \sum_{n=m}^\infty \left(\ln\left(1-\left(\dfrac{x}{2^n}\right)^2\right) - \sum\limits_{k=1}^\infty c_k\left(\dfrac{x}{2^n}\right)^{2k}\right) =\\ & \sum_{n=m}^\infty \ln\left(1-\left(\dfrac{x}{2^n}\right)^2\right) - \sum\limits_{k=1}^\infty\left(c_k x^{2k}\sum\limits_{n=m}^{\infty}2^{-2nk}\right) = \\ &\sum_{n=m}^\infty \ln\left(1-\left(\dfrac{x}{2^n}\right)^2\right) - \sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac{c_k}{1-2^{-2k}}\left(\dfrac{x}{2^m}\right)^{2k}. \end{align}

El primer término se puede presentar en forma del Símbolo q-Pochhammer en la forma de $$\sum_{n=0}^m \ln\left(1-\left(\dfrac{x}{2^n}\right)^2\right) = \ln \left(x^2, \dfrac14\right)_m.\tag{9}$$

Esto permite obtener las fórmulas $$R(x) = \prod\limits_{n=0}^{m-1}\mathrm{sinc}\dfrac{\pi x}{2^n}\cdot\dfrac{\left(x^2, \dfrac14\right)_\infty}{\left(x^2, \dfrac14\right)_m}\cdot\exp\left(\sum\limits_{k=1}^\infty\ \dfrac{c_k}{1-2^{-mk}} \left(\dfrac{x}{2^m}\right)^{2k}\right), \quad |x| < 2^{m+1}.\tag{10}$$

El radio de convergencia en la fórmula $(10)$ muestra que da $R(x)=0$ fuera de este radio, como las asintóticas de Stirling. Es fácil ver que el parámetro $m$ permite gestionar este radio. Al mismo tiempo, permite proporcionar la longitud requerida de la suma.

Si los límites del intervalo requerido están predefinidos, entonces el parámetro $m$ se puede considerar como constante. Esto permite usar la función común para este intervalo.

Por ejemplo, para el intervalo predefinido $x=(10,100)$ se puede elegir el valor $m=6$. Entonces la fórmula $(10)$ presenta la función $|R(x)|$ como la producción de los tres factores:

producción parcial de sincsin(pix2%5E(-n))%2F((pix2%5E(-n))%5E2%2B10%5E-10))%7C,%20where%20x%20in%20(10,100)),

radio q-Pochhammer)*sign(64-x),%20where%20x%20in%20(10,100))

y el exponente de la serie de recordatorio%2F(1-64%5E(-n))+(x%2F64)%5E(2n)%2F(2n)),+where+x%3D10,+100)

En el caso general, el modo más conveniente parece ser usar la fórmula $(10)$ para una aproximación por trozos en los intervalos requeridos .

De todos modos, esto permite tener en cuenta la multiplicidad de ceros anteriores.