Pregunta sobre la deducción del hamiltoniano del modelo de Schwinger

Question

En el documento de Sidney Coleman More about massive schwinger model (PDF). Se discute acerca de alguna propiedad del modelo QED masivo (1+1)D. En la página 5 de este documento, Coleman deriva el siguiente Hamiltoniano del modelo Schwinger:

donde $F_{01}$ denota la componente 0,1 del tensor electromagnético, en (1+1)D, $F_{01}$ es simplemente el campo electrostático $E_x$ y $F$ es un campo externo de fondo (que debe considerarse como constante).

$F_{01}$ se define como: $F_{01}=E_x=e\partial^{-1}_1j_0+F $ (en la página 4, ecuación 2.5)

Entonces mi pregunta es, ¿cómo se puede derivar el Hamiltoniano (2.10) mediante "integración por partes trivial"? Después de intentarlo muchas veces, obtengo el primer y el tercer término, pero aún no logro derivar el segundo término (término con el valor absoluto uno) en la ecuación.

Answer 1

$$ H_{\rm interacción}=\frac 12 \int_{-\infty}^\infty e^2 (\partial_x^{-1} j_0(x))^2 dx\\ =\frac 12 \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty dx dx' \delta(x-x') (\partial_x^{-1} j_0(x)) (\partial_{x'}^{-1} j_0(x')) $$ Ahora $\delta(x-x') = \partial^2_x \left(\frac 12 |x-x'|\right)$, entonces la integración por partes para llevar las derivadas del potencial a las corrientes da $$ H_{\rm interacción}=-\frac 1 4 e^2 \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty dx dx' |x-x'|j_0(x)j_0(x'). $$ No miré el término $xFj_0$.