¿Qué curvas tienen greflexivo fistrojo de estructura?

Question

[Este fue publicado por primera vez en MSE pero no recibió respuesta. Pido disculpas si no es adecuado para MO.]

Sea $C$ una curva, es decir, un esquema puramente unidimensional, embebido en una variedad proyectiva suave tridimensional $X$. Para un haz coherente $E$ de codimensión $c$ en $X$, sea $E^D=\mathscr Ext_X^c(E,\omega_X)$ el dual de Grothendieck de $E$. Es un haz reflexivo de codimensión $c$ en $X. Reflexivo significa que el mapa natural al doble dual es un isomorfismo. Sea $\mathscr O_C$ el haz de estructura de $C$, visto como un haz de torsión en $X`.

Pregunta. ¿Para qué curvas $C\subset X$ es $\mathscr O_C$ reflexivo?

Ciertamente, cuando $C$ es suave. Vamos a suponer que $C$ es singular. Pensaba que tal vez si $C$ es una intersección local completa entonces el primer dual $\mathscr O_C^D$ ya podría ser isomorfo a $\mathscr O_C`. ¿Es esto cierto? Si es así, entonces en particular, dualizar dos veces no hace nada. Pero probablemente alguien conozca una afirmación más convincente (o incluso más verdadera). ¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

De hecho, esta condición es equivalente a que $C$ sea CM (independientemente de que $X$ también sea CM). Este "dual" se llama el $\omega$-dual en Kol13. Puede que te interese leer la sección 2.5, o solo la parte que trata directamente sobre esto en las páginas 80-83. En particular, la afirmación que necesitas es Cor. 2.70. Además, si $X$ no es necesariamente CM, entonces obtienes el mismo resultado usando el complejo dualizante en lugar del fibrado dualizante.

Como señala Mohan, el primer dual solo será isomorfo a $\mathscr O$ si su propio fibrado dualizante es trivial. Aunque, ¿por qué querrías eso? Eso es un caso excepcional y no te da mucha utilidad. La reflexividad es una condición natural.

Answer 2

Si $C$ es Cohen-Macaulay (en particular, si es una intersección completa local), entonces $\mathcal{O}_C$ es reflexiva con tu definición. Incluso cuando $C$ es suave, $\mathcal{O}_C^D$ no necesariamente es isomorfo a $\mathcal{O}_C$, ya que el dual es simplemente $K_C$, que puede o no ser isomorfo a $\mathcal{O}_C.