Valor esperado o mediana de una función definida en una esfera con distribución uniforme

Question

Supongamos que $S$ es la esfera de radio uno. Y supongamos que $f:S\to \mathbb{R}$ está definida de la siguiente manera: $$f(x_1,...,x_n)=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\cdots+\frac{1}{x_n^2}$$

Estoy tratando de calcular cualquiera de estas opciones: $$\int f(\gamma)d\gamma$$ donde la integración es con respecto a la medida de Haar sobre la esfera. O tal vez encontrar la mediana de la variable aleatoria inducida en $\mathbb{R}$ por $f$. Agradezco cualquier ayuda en esta dirección.

Answer 1

Utilicemos coordenadas esféricas:

$$ x_k = \prod_{j=1}^{k-1} \sin(\phi_j) \cos(\phi_k) \\ J = \prod_{j=1}^{n-2} \sin^{n-1-j}(\phi_j) $$

Omití $r$ porque estaremos considerando una esfera de radio unitario. Por lo tanto

$$ \int f d S = 2^n \int_{0}^{\pi/2} \dots \int_{0}^{\pi/2} \Bigl( \sum_{k=1}^n \prod_{j=1}^{k-1} \sin^{-2}(\phi_j) \cos^{-2}(\phi_k) \Bigr) \prod_{j=1}^{n-2} \sin^{n-1-j}(\phi_j) d \phi_1 \dots d \phi_n \\ = 2^n \sum_{k=1}^n \int_{0}^{\pi/2} \dots \int_{0}^{\pi/2} \prod_{j=1}^{k-1} \sin^{-2}(\phi_j) \cos^{-2}(\phi_k) \prod_{j=1}^{n-2} \sin^{n-1-j}(\phi_j) d \phi_1 \dots d \phi_n $$

La última ecuación parece aterradora, pero es simplemente un producto de $n$ integrales de senos y cosenos elevados a algún poder. Y algunos de ellos son de interés particular.

Considera $\phi_{n-1}$ para $k = n$. La integral correspondiente es

$$ \int_0^{\pi/2} \sin^{-2}(\phi_{n-1}) d\phi_{n-1} $$

Esta integral es divergente. Claramente, toda la suma es ilimitada.

Por lo tanto, la esperanza no existe.