Representar transformaciones naturales con diagramas

Question

Quiero dibujar diagramas para cada una de las nociones fundamentales en la teoría básica de categorías: categorías, funtores y transformaciones naturales. Mientras que he sido capaz de hacer esto para las categorías y funtores, no puedo hacer lo mismo para las transformaciones naturales. Mis diagramas para categorías y funtores son los siguientes ($\mathcal{C}_1$ es la clase de morfismos, $\mathcal{C}_0$ es la clase de objetos de una categoría $\mathcal{C}$)

¿Hay alguna forma de hacer una imagen de una transformación natural $\alpha$ entre dos funtores paralelos $F,G:\mathcal{C}\rightrightarrows\mathcal{D}$ en el mismo estilo de los diagramas anteriores para categorías y funtores?

• Nota: No estoy buscando el cuadrado de naturalidad de una transformación natural, que ya conozco. Estoy buscando un diagrama (¿tridimensional?) que involucre a $\alpha, F, G, \mathcal{C}, \mathcal{D}$.

Answer 1

Una transformación natural $\alpha$ de $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ a $G : \mathcal{C}\to \mathcal{D}$ consiste en un mapa $\alpha : C_0 \to D_1$ tal que $d_D \alpha = F_0$ y $c_D \alpha = G_0$ satisfaciendo $\circ_D \langle G_1 , \alpha d_{C} \rangle = \circ_ D \langle \alpha c_C, F_1\rangle$ donde $d_C$ y $c_C$ son lo que tú llamas $\text{dom}_{C}(\ )$ y $\text{cod}_C(\ )$ respectivamente, y $\langle G_1,\alpha d_C\rangle : C_1 \to D_2$ y $ \langle \alpha c_C, F_1\rangle : C_1 \to D_2$ son los mapas esperados en el pullback (i.e. $\langle G_1,\alpha d_C\rangle(f) = (G(f),\alpha(\text{dom}_{C}(f))$). Espero que esto sea comprensible sin diagramas.