Una pregunta de un libro de texto pide que se ponga a prueba la comprensión del teorema de Cayley al pedir una descripción explícita de un subgrupo de $S_4$ isomorfo a $\mathbb{Z}_4$, y de uno isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$. No es difícil usar la prueba para hacer suposiciones educadas, y luego verificar. Pero la pregunta podría interpretarse como sugerir que implícito en la prueba hay un método general para convertir algún tipo de presentación explícita de un grupo (digamos finito) $G$ en una descripción explícita de un subgrupo isomorfo de $S_n$, donde $n = |G|$. ¿Es eso correcto?
Respuestas
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Déjame darte una pista. Escribe el grupo en cuestión como un conjunto ordenado, tomemos $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$: $\{x_1=e_G, x_2,x_3,x_4\}$. Multiplica desde la izquierda (¡desde la derecha te da la misma respuesta, este grupo es abeliano!) con $x_2$ y el conjunto se convierte en $\{x_2,x_1,x_4, x_3\}$, por lo tanto, la permutación $(1 2)(3 4)$. Continúa esto para todos los demás elementos de $G$ y observa qué permutaciones en $S_4$ obtienes. Esta será tu copia isomorfa de $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ en $S_4$. Si has entendido esto, haz lo mismo para $\mathbb{Z}_4$. Esta receta funciona para cada grupo, prueba por ejemplo el grupo cuaterniónico de orden $8$ para ver qué subgrupo de $S_8$ es isomorfo a ese. Experimenta con una multiplicación desde la izquierda y la derecha. ¿Son las permutaciones las mismas?
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Una pregunta de libro de texto pide probar la comprensión del teorema de Cayley al pedir una descripción explícita de un subgrupo de $S_4$ isomorfo a $\mathbb Z_4$, y uno isomorfo a $\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2$.
Interpreto las partes en cursiva (mías) como una invitación a la plena tecnicidad detrás del teorema de Cayley.
La incrustación de Cayley $\varphi\colon \mathbb Z_4\hookrightarrow S_{\mathbb Z_4}$ se define por: \begin{alignat}{1} &[0]&&\mapsto [0]+\_ \\ &[1]&&\mapsto [1]+\_ \\ &[2]&&\mapsto [2]+\_ \\ &[3]&&\mapsto [3]+\_ \\ \end{alignat} Para incrustar el subgrupo $\varphi(\mathbb Z_4)\le S_{\mathbb Z_4}$ en $S_4$, debes elegir cualquiera de las $4!$ biyecciones $\mathbb Z_4\to \{1,2,3,4\}$, digamos por ejemplo $f$ definido por: \begin{alignat}{1} &[0]&&\mapsto 1 \\ &[1]&&\mapsto 2 \\ &[2]&&\mapsto 3 \\ &[3]&&\mapsto 4 \\ \tag1 \end{alignat} Entonces, el isomorfismo $\psi_f\colon S_{\mathbb Z_4}\to S_4$, definido por $\sigma\mapsto f\sigma f^{-1}$, hace el trabajo. Por ejemplo: \begin{alignat}{1} (\psi_f([0]+\_))(1) &= (f([0]+\_) f^{-1})(1) \\ &= f(([0]+\_)(f^{-1}(1))) \\ &= f([0]+[0]) \\ &= f([0]) \\ &= 1 \end{alignat} \begin{alignat}{1} (\psi_f([0]+\_))(2) &= (f([0]+\_)f^{-1})(2) \\ &= f(([0]+\_)(f^{-1}(2))) \\ &= f([0]+[1]) \\ &= f([1]) \\ &= 2 \end{alignat} \begin{alignat}{1} (\psi_f([0]+\_))(3) &= (f([0]+\_)f^{-1})(3) \\ &= f(([0]+\_)(f^{-1}(3))) \\ &= f([0]+[2]) \\ &= f([2]) \\ &= 3 \end{alignat} \begin{alignat}{1} (\psi_f([0]+\_))(4) &= (f([0]+\_)f^{-1})(4) \\ &= f(([0]+\_)(f^{-1}(4))) \\ &= f([0]+[3]) \\ &= f([3]) \\ &= 4 \end{alignat} Por lo tanto: $$\psi_f([0]+\_)=()$$ Con la misma receta, encontrarás: \begin{alignat}{1} &\psi_f([1]+\_) &&=(1234) \\ &\psi_f([2]+\_) &&=(13)(24) \\ &\psi_f([3]+\_) &&=(1432) \\ \end{alignat} de donde: $$\mathbb Z_4\stackrel{\psi_f\varphi}{\cong}\{(),(1234),(13)(24),(1432)\}\le S_4$$ Otras elecciones de la biyección $f$ en $(1)$ conducirán a diferentes subgrupos de $S_4$ isomorfos a $\mathbb Z_4$.
¿Puedes imitar toda esta rutina con $\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2$?
