Área triangular en superficie hiperbólica

Question

He leído numerosos documentos sobre el cálculo del área en geometría hiperbólica pero simplemente no logro entender cómo calcular el área de un triángulo en geometría hiperbólica. Sería bueno tener también una demostración. Gracias de antemano.

Edición: He investigado más desde entonces y ahora entiendo cómo se puede obtener el área utilizando la constante K y el defecto del triángulo. Sin embargo, ahora estoy confundido acerca de cómo se supone que debes obtener la constante K. ¿Necesitas el área y el defecto de al menos un triángulo para obtener la constante o hay alguna otra forma de calcularla?

Edición: Además, la fórmula en Wikipedia contiene una variable R, que asumo significa radio. Entonces, ¿cómo se puede encontrar R o suele ser 1 como K?

Answer 1

El problema es un poco que la mayoría de los modelos del plano hiperbólico tienen la suposición incorporada de que la curvatura de la superficie = -1.

Anteriormente hice preguntas sobre esta misma cuestión pero nunca obtuve una buena respuesta,

Pero ahora creo que hay algunas formas:

Por ejemplo, construir un triángulo equilátero con lados de longitud $m$ y ángulos $\alpha$ (radianes)

Luego, la longitud absoluta de un lado (así con una curvatura de -1) es:

$$ arcocosh (\frac {\cos^2\alpha +\cos\alpha }{ \sin^2 \alpha } ) $$

entonces K es $m$ dividido por la longitud calculada.

Ps 1: Esta es solo una idea aproximada, tal vez cometí algún error en algún lado. y probablemente hay mejores maneras. (o con triángulos más pequeños, necesitas triángulos bastante grandes para obtener un ángulo medible que no sea $60^\circ$ )

Ps 2: No creo que las medidas de área sean un buen punto de partida para calcular la curvatura. El área en geometría hiperbólica es complicada (multiplica el área de un triángulo por 4 y la forma del triángulo cambia), por lo tanto, en lo anterior, me atuve a medidas de longitud y ángulo. son mucho menos complicadas

Comentarios invitados, ¡tal vez juntos podemos encontrar una mejor manera! :)