Aclarando la definición medida teórica de una función de densidad de probabilidad

Question

Estoy tratando de comprender mejor la definición medida-teórica de una función de densidad de probabilidad, pero creo que estoy cometiendo un error en algún lugar, si alguien pudiera aclararlo. Lo que entiendo actualmente es que sea $(\Omega,F,\mathbb{P})$ un espacio de probabilidad y sea $X:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$ una variable aleatoria real. Entonces, la distribución de $X$ es la medida de empuje hacia adelante $$ X_*\mathbb{P}(E)=\mathbb{P}(X^{-1}(E))=\mathbb{P}(X\in E) $$ donde $E\subseteq \mathbb{R}$ es algún conjunto medible en $\mathbb{R}$. La función de distribución acumulada de $X$ es entonces $$ F(a) = \mathbb{P}(X\in (-\infty,a]) = \mathbb{P}(X^{-1}(-\infty,a]) $$ Para obtener la función de densidad de probabilidad, asumimos que $\mathbb{P}<<\lambda$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue y luego observamos $$ F(a)=\mathbb{P}(X^{-1}(-\infty,a]) = \int_{X^{-1}(-\infty,a]} 1 d\mathbb{P} = \int_{X^{-1}(-\infty,a]} \frac{d\mathbb{P}}{d \lambda} d\lambda $$ donde $\frac{d\mathbb{P}}{d \lambda}$ es la derivada de Radon-Nikodym de $\mathbb{P}$ respecto a $\lambda$. Entonces establecemos $f=\frac{d\mathbb{P}}{d \lambda}$ y llamamos a $f$ la función de densidad de probabilidad.

Bien, sé que hay un error aquí ya que realmente quiero $$ F(a) = \int_{-\infty}^a f d\lambda $$ pero en su lugar tengo $$ \int_{X^{-1}(-\infty,a]} f d\lambda $$ Básicamente, hay un $X^{-1}$ aquí y no creo que debería haberlo, entonces ¿cuál es el error en lo que estoy haciendo con Radon-Nikodym? En segundo lugar, todavía no estoy seguro de cómo definir $\mathbb{P$ concretamente. Digamos que estamos trabajando con una distribución normal, sé que $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$ y $$ F(x) = \frac{1}{2}\left[1+\textrm{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] $$ En este caso, ¿qué sería $\mathbb{P}$?

Gracias por la ayuda de antemano.

Answer 1

Usted afirma el siguiente cambio de variables: $$\int_{X^{-1}(-\infty,a]} 1 d\mathbb{P} \overset{?}{~=~} \int_{\color{crimson}{X^{-1}(-\infty,a]}} \frac{d\mathbb{P}}{d \lambda} d\lambda$$

Sin embargo, debe cambiar el intervalo de integración cuando cambió la variable.

$$\int_{X^{-1}(-\infty,a]} 1 d\mathbb{P} ~=~ \int_{\color{navy}{(-\infty,a]}} \frac{d\mathbb{P}}{d \lambda} d\lambda$$

Eso es todo.

Answer 2

Esto equivale a demostrar que

$P[X\in B]=\int_BdF,$

donde $B$ es un conjunto de Borel en $(-\infty, \infty)$ y $X$ es una variable aleatoria con función de distribución $F$.

Sea $\mu_F$ la medida de Lebesgue-Stieltjes sobre $(-\infty, \infty)$ determinada por $F$, y tomemos $B$ de la forma $B=\cup_{i=1}^n(a_i,b_i]$. Entonces tenemos

$\mu_F(B)=\sum_{i=1}^n(F(b_i)-F(a_i))=\sum_{i=1}^nP(a_i< X \leq b_i)=P(\cup_{i=1}^n\{a_i < X \leq b_i\})=P(X^{-1}B)$

$PX^{-1}$ es una medida ya que $\mu_F$ lo es, por lo tanto podemos extender de manera única ambas medidas al campo sigma de conjuntos de Borel en $\mathbb{R}$.