¿Cuál es la cardinalidad de $X$?

Question

Sea $X=\{x\in D^\mathfrak{c}: 0<|\{\xi<\mathfrak{c}:x(\xi)=1\}|\le\omega_1\}$, donde $D=\{0,1\}$.

¿Cuál es la cardinalidad de $X$? Creo que es $\mathfrak{c}$, sin embargo no estoy seguro. Además, no sé cómo demostrarlo. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

$|X|=\mathfrak{c}^{\omega_1}=(2^\omega)^{\omega_1}=2^{\omega_1}$. Esto puede ser $\mathfrak{c}$, si por ejemplo, $2^\omega=2^{\omega_1}=\omega_2$, lo cual es consistente con $\mathsf{ZFC}$, pero bajo $\mathsf{CH}$ tenemos $2^{\omega_1}=2^{\mathfrak{c}}>\mathfrak{c}$.