¿Implica que $\operatorname{im}(\alpha^2)=\operatorname{im}(\alpha)$ de dimensión finita $V=\ker(\alpha)\oplus \operatorname{im}(\alpha)$?

Question

Demuestra o refuta: Sea $\alpha$ un operador lineal en $V$. Si $\operatorname{im}(\alpha)=\operatorname{im}(\alpha^2)$ y $\operatorname{im}(\alpha)$ es de dimensionalidad finita, entonces $V=\ker(\alpha)\oplus \operatorname{im}(\alpha)$.

El contraejemplo usual utiliza el operador de desplazamiento hacia la izquierda, cuya imagen es, por supuesto, de dimensionalidad infinita. La afirmación es verdadera si requerimos que $V$ sea de dimensionalidad finita (usando el teorema de la dimensión). También es verdadera si requerimos la condición más fuerte de que $\alpha^2=\alpha$. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Sí, esto es verdad. $\def\im{\operatorname{im}}\def\a{\alpha}$

El hecho clave es que la restricción de $\a$ a $\im(\a)$ es un isomorfismo: $\a:\im(\a)\to \im(\a)$ es sobreyectivo porque $\im(\a)=\im(\a^2)$, y un mapa sobreyectivo de espacios vectoriales de dimensión finita debe ser un isomorfismo por la nulidad del rango.

Ahora podemos resolver el problema rápidamente. Primero, $\im(\a)\cap \ker(\a)=\{0\}$: sea $v\in V$ pertenecer a ambos, entonces $\a(v)=0$ lo que implica que $v=0$ ya que $\a$ es un isomorfismo en $\im(\a)$.

También necesitamos mostrar que cada elemento en $V$ tiene una descomposición como la suma de un elemento en el núcleo y un elemento en la imagen. Nuevamente sea $v\in V$, y sea $w\in\im(\a)$ el elemento único tal que $\a(w)=\a(v)$ que existe porque $\a$ es un isomorfismo en $\im(\a)$. Entonces $v-w$ y $w$ son tal descomposición: $\a(v-w)=\a(v)-\a(w)=0$, así que $v-w\in\ker(\a)$, y $w\in\im(\a)$. Por lo tanto, hemos demostrado las condiciones necesarias para $V=\ker\a\oplus\im\a$.