Prueba de una propiedad de la función totient de Euler

Question

La propiedad es $$\sum_{d|n}\phi(d) = n$$

Y la prueba proporcionada es

Si $d$ divide a $n$, sea $C_d$ el subgrupo único de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ de orden $d$, y sea $\Phi_d$ el conjunto de generadores de $C_d$. Dado que todos los elementos de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ generan uno de los $C_d$, el grupo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es la unión disjunta de los $\Phi_d$ y tenemos
$$n = \text{Card}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = \sum_{d|n}\text{Card}(\Phi_d) = \sum_{d|n}\phi(d)$$

Pero no puedo demostrarme a mí mismo la unicidad de los subgrupos para que todo encaje.

Answer 1

Según entiendo tu pregunta, necesitas demostrar en $\Bbb Z/n\Bbb Z$, que hay un subgrupo único de orden $d$ donde $d|n$. Supongamos, $m\in\Bbb Z/n\Bbb Z$, entonces $|m|$, el orden de $m$, es $n/(n,m)$. Así que, si un subgrupo $H$ tiene orden $d$, entonces está generado por $m$ donde $n/(n,m)=d. Claramente $m=n/d$ es tal número. Cualquier otro número así debe ser un múltiplo de $n/d$, por lo tanto, todos los generadores posibles de un grupo de orden $d$ pertenecen al mismo subgrupo.

Answer 2

Puedes demostrarlo usando inducción en el divisor primo del número.

Supongamos que $\displaystyle k=p^r$ sea un entero que tiene un divisor primo $p$

Luego, los divisores de $k$ son $1, p,.......p^r$. Entonces $$\displaystyle\sum_{d|p^r}\phi(d)=\phi(1)+\phi(p)+.....\phi(p^r)=1+p-1+....p^r-p^{r-1}=p^r$$

Ahora supongamos que esto es cierto para todos aquellos enteros que tienen $s$ factores primos.

Considere $Z=mq^t$ donde m es un entero que tiene $s$ factores primos y q es un primo y $gcd(m,q)=1$

Luego, $$\displaystyle\sum_{d|\phi(Z)}\phi(Z)=\sum_{d|m}\Big(\phi(m)+\phi(mq)+\phi(mq^2)+......\phi(mq^t)\Big)=\sum_{d|m}\Big(\phi(m)+\phi(m)\phi(q)+\phi(m)\phi(q^2)+.....\phi(m)\phi(q^2)\Big)=\Big(\sum_{d|m}\phi(m)\Big)\Big(\phi(1)+\phi(q)+.....\phi(q^t)\Big)=mq^t=Z$$

Y por lo tanto $$Z=\sum_{d|\phi(Z)}\phi(Z)$$. Así se completa la prueba del resultado.