Asumir $M$ es un conjunto, en las que se conservan todos los axiomas de $ZF - P + (V=L)$. ¿Entonces $M$ cree que existe un ordinal incontable? Quiero decir, ¿por qué la clase de todos los números ordinales contables debe ser un conjunto?
Respuesta
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No. No se puede demostrar que $\omega_1$ existe en ZF - P, con o sin V = L.
El conjunto $HC$ de hereditariamente contables conjuntos de siempre cumple ZF - P. (Esto es fácil de comprobar axioma por axioma.) Por supuesto, $\omega_1 \notin HC$, pero además cada conjunto en $HC$ es contable o finita, como atestigua una función en $HC$. Por lo tanto, $HC$ sabe que cada conjunto en $HC$ es contable y, por tanto, $HC$ es un modelo de ZF - P + "cada set es en la mayoría de los contables."
En lanzamiento de V = L en la mezcla no ayuda. De hecho, $HC^L = L_{\omega_1^L}$ (véase mi respuesta a su reciente MO pregunta para una prueba) es un modelo de ZF - P + V = L + "cada set es en la mayoría de los contables."
