¿Cómo demostrar que un conjunto de matrices forma una representación de una álgebra de Lie?

Question

Cuando leo The Standard Model and Beyond de Paul Langacker, estoy bastante confundido con la ecuación 3.29, la cual dice que con un conjunto de campos $\Phi _a$, donde $a$ va de 1 a $n$, se eligen para ser transformados a sí mismos por los generadores del álgebra de Lie $T^i$. Por lo tanto, hacemos la siguiente suposición

$$ \left[ T^i , \Phi _a \right] \equiv - L_{a b}^i \Phi_b $$

Entonces se dice que $L^i$ puede ser fácilmente demostrado que forma una representación del álgebra de Lie $U_G = e^{- \mathrm{i} \beta ^i T^i}$.

Bueno, creo que si uno puede demostrar que $L^i$ y $T^i$ satisfacen la misma relación de conmutación, entonces esta conclusión es verdadera. ¿Pero cómo lo hacemos?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

¡Ya tengo la respuesta! Está explicado en las ecuaciones 3.36 y 3.37 del mismo libro.

Primero, tomemos el adjunto de $\left[ T^i , \Phi _a \right] = - L_{a b}^i \Phi _b$, recordemos que $T^i$ es hermítico, asumamos que $L^i$ es real, lo que llevaría a $\left[ T^i , \Phi _a^{\dagger} \right] = \left( L_{a b}^i \right)^T \Phi _b^{\dagger}$.

Ahora, para un estado base $\left| 0 \right>$, asumimos que $\Phi _a^{\dagger} \left| 0 \right> = \left| a \right>$. Además, el estado base es invariante por ahora, $T^i \left| 0 \right> = 0$.

Entonces tendríamos

$$ T^i \left| a \right> = T^i \Phi _a^{\dagger} \left| 0 \right> = \Phi _a^{\dagger} T^i \left| 0 \right> + \left( L_{a b}^i \right)^T \Phi _b^{\dagger} \left| 0 \right> = 0 + \left( L_{a b}^i \right)^T \left| b \right> = \left| b \right> L_{b a}^i $$

Sin embargo, es cierto que $T^i \left| a \right> = \left| b \right> \left< b \left| T^i \right| a \right>$, lo que nos dice

$$ L_{b a}^i = \left< b \left| T^i \right| a \right> $$

Por lo tanto, $L_{b a}^i$ es una representación de $T^i$ en el espacio de partículas.