Estoy tratando de demostrar que $\lim_{n \to \infty}[n,+\infty)$ tiene medida de Lebesgue 0. Estoy tan tentado de simplemente afirmar que a medida que $n \to \infty$, el intervalo se hace más pequeño y más pequeño y eventualmente llega a 0, pero sé con seguridad que no es un movimiento legal. ¡Cualquier pista es apreciada!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, la notación $\lim_{n\to\infty} A_n$ donde $A_n$ son subconjuntos de un espacio más grande no está realmente bien definida. ¿Cuál es el procedimiento límite? ¿Cómo se calcula ese límite? En un lenguaje de alta categoría, ¿en qué categoría estás tomando el límite?
Dicho esto, la interpretacion usual es la siguiente: primero definimos el "límite superior" y el "límite inferior" de una secuencia de conjuntos. Estos son $$ \limsup A_n := \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k \qquad\text{y}\qquad \liminf A_n := \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k. $$ Básicamente, el límite superior es la colección de puntos que aparecen en infinitos de los conjuntos, y el límite inferior es el conjunto de puntos que aparecen en todos menos un numero finito de los conjuntos. Si $$ \limsup A_n = \liminf A_n = A, $$ entonces es razonable definir $\lim_{n\to\infty} A_n = A$. En el caso donde $A_n = [n,\infty)$, los $A_n$ son una familia de conjuntos monótonamente decrecientes (es decir, $A_{n+1} \subseteq A_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$), y así estas definiciones se reducen a una intersección: $$ \limsup [n,\infty) = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} [k,\infty) = \bigcap_{n=1}^{\infty} [n,\infty) = \emptyset $$ y $$ \liminf [n,\infty) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} [k,\infty) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \emptyset = \emptyset. $$ Para ver que la intersección realmente es vacía, es suficiente mostrar que si $x \in \mathbb{R}$, entonces $x \not\in \bigcap [n,\infty)$. Para esto, es suficiente mostrar que $x \not\in [n,\infty)$ para al menos un $n$. Pero esto es sencillo: si $n$ es un entero con $n > x$, entonces $x \not\in [n,\infty)$. Dado que siempre podemos encontrar un entero mayor que $x$, debe ser que $x \not\in \bigcap [n,\infty)$. Por lo tanto, si $x \in \mathbb{R}$, entonces $$ x\not\in \bigcap_{n=1}^{\infty} [n,\infty). $$ Luego, como se afirmó, $\bigcap [n,\infty) = \emptyset$, de lo cual se sigue que tiene medida de Lebesgue cero.
