Valor esperado de sumar hasta 6 lanzamientos de una moneda, donde cada cola suma uno y cada cara resta uno (no se puede tener menos de cero puntos)

Question

Así que estaba jugando este videojuego donde podías usar una joya para agregar valor a un ítem. Los valores de los ítems van de +0 a +6. Cada vez que uses la joya tienes un 50% de probabilidades de éxito, ahora, el Valor esperado de las joyas que debería utilizar para llegar a +6 se calcula fácilmente, es 12. (6/0.5).

Pero aquí está la cosa, cada vez que fallas, se resta uno, así que si tu ítem es +2 y fallas, retrocede a ser +1. La única excepción es cuando es +0, ya que no puede disminuir más.

Entonces mi pregunta es, ¿cómo calculo este número analíticamente? Lo pasé por python y el resultado es 42. Hay un segundo caso donde la probabilidad de éxito es ahora del 75%, en el que mi script me da un valor esperado de 11.

¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Para $k=0,1,\dots,6$ sea $e_k$ el número esperado de lanzamientos para llegar a $6$. Tenemos $$\begin{align} e_6&=0\\ e_5&=1+\frac12e_4+\frac12e_6\\ e_4&=1+\frac12e_3+\frac12e_5\\ e_3&=1+\frac12e_2+\frac12e_4\\ e_2&=1+\frac12e_1+\frac12e_3\\ e_1&=1+\frac12e_0+\frac12e_2\\ e_0&=1+\frac12e_0+\frac12e_1 \end{align}$$

y queremos el valor de $e_0$.

La ecuación de $e_5$ por ejemplo, viene del hecho de que siempre tenemos que hacer $1$ lanzamiento y después el valor será o bien $4$ o $6$, cada uno con probabilidad $\frac12$.

Para resolver este sistema, utiliza la última ecuación para expresar $e_1$ en términos de $e_0$, luego la anterior para expresar $e_2$ en términos de $e_0$ y así sucesivamente. Al final, obtenemos $e_6$ en términos de $e_0$, y como $e_6$ es conocido, podemos calcular $e_0$.

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Obtengo, sucesivamente, $$\begin{align} e_1&=e_0-2\\ e_2&=e_0-6\\ e_3&=e_0-12\\ e_4&=e_0-20\\ e_5&=e_0-30\\ e_6&=e_0-42\\ \end{align}$$ por lo que el número esperado de lanzamientos es $42$.

Answer 2

Entonces, jugando con los números y diciendo que tengo que llegar al artículo simplemente sumando +1, o +2, y así sucesivamente, obtengo la serie, 2 6 12 20 30 42 y así sucesivamente, que representa exactamente n^2 + n. Entonces supongo que ese es el resultado analítico, aún no estoy seguro de cómo llegar allí.