Teorema fundamental del cálculo para funciones multivariables

Question

En una prueba, han escrito: $$\frac{f(x,y+t)-f(x,y)}{t}=\int_0^1 f_y(x,y+st)ds$$ Pero ¿no dice el teorema fundamental del cálculo que $$\int_0^1 f_y(x,y+st)ds=f(x,y+t)-f(x,y)?$$ Estoy seguro de que la respuesta es obvia, pero por más que lo intento, no veo de dónde viene este extra $1/t. ¡Gracias!

Answer 1

Primero, ten en cuenta que tu versión no puede ser correcta: tomando $t=0$ da $0$ en la derecha y $f_y(x,y)$ en la izquierda.

Quizás sea más fácil verlo después de una sustitución: poniendo $u=st$, $ds=du/t$ y la integral se convierte en $$ \frac{1}{t} \int_0^t f_y(x,y+u) \, du, $$ y la integral se puede hacer usando el TFC para dar $f(x,y+t)-f(x,y)$.

Esencialmente, esta es la regla de que $\int f'(ay) \, dy = \frac{1}{a}f(ay)+C$.

Answer 2

Pista Haz la sustitución $u=st$. El $\frac{1}{t}$ proviene del hecho de que tienes $f_y(x,y+st)$ y no $f_y(x,y+s)$.

Answer 3

Dado que $$ \frac{d}{ds} \left( \frac{f(x,y+st)}{t} \right) = \frac{1}{t} f_y (x,y+st) \frac{d}{ds} (y+st) = \frac{1}{t} f_y(x,y+st) t = f_y(x,y+st), $$ entonces $$ \int_0^1 f_y(x,y+st) \, ds = \frac{f(x,y+st)}{t} \Biggr|_{s=0}^{s=1} = \frac{f(x,y+t)-f(x,y)}{t}. $$