Sumas gaussianas de un carácter de Dirichlet

Question

En el capítulo 9 de Davenport, definieron

$$\tau(\chi)=\sum_{m=1}^{q} \chi(m) e_q(m)$$ Además, si $(n,q)=1$, entonces tenemos que $$\chi(n)\tau(\overline{\chi})=\sum_{h=1}^{q} \overline{\chi}(m) e_q(nh)$$ y luego escribieron que esto proporciona la expresión deseada para $\text{ }\chi(n)\text{ }$ siempre que $\text{ }(n,q)=1$.

Mi pregunta es, tenemos que $$ \chi(n) = \frac{\sum_{h=1}^{q} \overline{\chi}(m) e_q(nh)}{\tau(\overline{\chi})} $$ pero al calcular el RHS, necesitamos $\overline{\chi}(h)$ para conocer el valor de $\chi(n)$ y por qué estamos calculando $\chi(n)$ con una expresión tan complicada.

Answer 1

Una forma en que sumas como $\sum_m \chi(m)\psi(nm/q)$ aparecen (escribiendo $\psi(x)=e^{2\pi ix}$) en la ecuación funcional para las funciones $L$ de Dirichlet, ya sea hecha clásicamente o como en Iwasawa-Tate.

El punto es que la $\chi$ (o $\overline{\chi}$...) sale de la suma indicada. Entonces la suma de Gauss, dividida por $\sqrt{\pm q}$, es el "$\epsilon$-factor" en la ecuación funcional de la(s) función(es) $L$ correspondiente(s). (Sí, para $\chi$ no es real, la ecuación funcional relaciona $L(1-s,\chi)$ y $L(s,\overline{\chi})$ ...)

Sí, como dice @KCd, esto da una especie de "representación integral" de $\chi$, aunque no está claro para mí que esto es lo que extiende $\chi$ a un carácter de clase idele.

Más explícitamente: para demostrar la continuación analítica y la ecuación funcional de $L(s,\chi)=\sum_n \chi(n)/n^s$, el enfoque Riemann-IwasawaTate es usar una representación integral de la función $L$, con factores Gamma adecuados: para $\chi$ par (para $\chi$ impar es ligeramente diferente), es $$ \pi^{-s/2}\Gamma(s/2)L(s) \;=\; {1\over 2}\int_0^\infty y^{s/2} \sum_n\chi(n)e^{-\pi n^2 y}\;dy/y $$ Aplicando la suma de Poisson a esa combinación lineal de funciones theta dentro de la integral (para demostrar la ecuación funcional de esa combinación lineal) arroja la suma de Gauss, etc.

Answer 2

Sospecho que parte del punto podría ser que en el lado derecho, $n$ no aparece dentro de los valores de $\chi$, y donde $n$ aparece podría ser un número real, por lo que esta ecuación puede servir como una forma de definir $\chi(n)$ cuando $n$ es un número real.

Compara con la ecuación $$ n! = \int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx $$ para $n \geq 0$ en $\mathbf Z$. En el lado derecho, $n$ puede ser un número real no negativo, por lo que podemos usar el lado derecho para definir $n!$ cuando $n$ es un número real no negativo, por ejemplo, $(1/2)! := \int_0^\infty \sqrt{x}e^{-x}\,dx$.

EDIT: Miré en el Capítulo 9 de Davenport, y explica directamente en el segundo párrafo de ese capítulo por qué quiere una fórmula como esa para $\chi(n)$:

Necesitamos la expresión de $\chi(n)$ como una combinación lineal de exponenciales imaginarias $e_q(mn)$, que usamos anteriormente en §1 [(4) y (5)]

La fórmula por la que preguntas fue derivada cuando $(n,q) = 1$, pero Davenport muestra inmediatamente después que cuando $\chi$ es primitiva esa fórmula es también verdadera cuando $(n,q) > 1$: es verdadera para todos los enteros $n$, sin importar cuál sea $(n,q)$. En las pp. 66-67, Davenport usa esa fórmula para mostrar que la suma de Gauss de cada carácter primitivo módulo $q$ tiene valor absoluto $\sqrt{q}$, y en las siguientes páginas utiliza esta fórmula para $\chi(n)$ para todos los $n$ (cuando $\chi$ es primitiva) para obtener la ecuación funcional de la función $L$ de Dirichlet de $\chi$.

En resumen, la respuesta a tu pregunta es: ten paciencia. ¡Simplemente sigue leyendo, presta mucha atención, y verás la fórmula para $\chi(n)$ utilizada!