La preimagen transversal de un vecindario tubular trivial lo suficientemente pequeño contiene un vecindario tubular trivial.

Question

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Sea $f\colon M'\to M$ una aplicación suave entre dos variedades suaves cerradas orientables y $S$ una subvariedad cerrada orientable embebida suavemente en $M$ de co-dimensión uno. Bajo estas suposiciones, tenemos un vecindario tubular trivial, es decir, tenemos un embebido $\varphi\colon [-1,1]\times S\hookrightarrow M$ con $\varphi(0\times S)=S$. Escribimos $S_t:=\varphi(t\times S)$ para todo $t\in [-1,1]$.

Supongamos que $f\pitchfork \varphi(\varepsilon\times S)$ para cada $-1<\varepsilon <1$. Sea $S'$ una componente de la subvariedad cerrada orientable de co-dimensión uno $f^{-1}(S)$ de $M'$.

Definimos una propiedad $\mathscr P(\varepsilon)$ para $\varepsilon\in (0,1)$ de la siguiente manera: Existe una componente $S_\varepsilon'$ de $f^{-1}(S_\varepsilon)$ y un embebido $\varphi_\varepsilon'\colon [0,\varepsilon]\times S'\hookrightarrow M'$ con $\varphi_\varepsilon'(0,S')=S'$, $\varphi'_\varepsilon(\varepsilon,S')=S'_\varepsilon$ tal que $f\big(\text{im }\varphi_\varepsilon'\big)\subseteq \varphi\big([0,\varepsilon]\times S_\varepsilon\big)$. De manera similar, definimos $\mathscr P(\varepsilon)$ para $\varepsilon\in (-1,0)$.

¿Cuál de los siguientes hechos es/son verdaderos, si alguno?

$(1)$ $\mathscr P(\varepsilon)$ se cumple para todas las $\varepsilon$ suficientemente pequeñas, $(2)$ Existe una secuencia $\varepsilon_n\to 0$ tal que $\mathscr P(\varepsilon_n)$ se cumple para cada $n$.

En caso de que tanto $(1)$ como $(2)$ sean falsos, ¿qué sucede si además asumimos que el pull-back $f^*\colon \text{Vect}(M)\to \text{Vect}(M')$ es una biyección?

Answer 1

La condición $\mathcal P(\epsilon)$ es innecesariamente complicada. Siempre es cierta sin pasar a los componentes.

Sea $U$ un entorno tubular de $S$ difeo a $[-1,1]\times S$. Sea $\pi: U\to \mathbb R$ la proyección sobre el primer factor. Sea $V=f^{-1}(U)$. Entonces $V$ es compacto y la asunción de transversalidad es equivalente a que $h=\pi\circ f$ no tenga puntos críticos en $V$. Por lo tanto $V=h^{-1}([-1,1]) es un producto según la teoría de Morse estándar. Lo mismo funciona para$h^{-1}([0,\epsilon]) para cualquier $\epsilon$.