Acerca del lema de Riesz

Question

Lea acerca del lema de Riesz y su demostración tal como se muestra en el texto de Análisis Funcional (2da ed) de Taylor.

En la demostración se dice que $X$ es el espacio lineal normado. $X_0$ es su subespacio cerrado y propio.

$x_1\in X-X_0$.

$x_0,x\in X_0$.

$h=||x_1-x_0||^{-1}$.

Luego se dice que $$h^{-1}x+x_0\in X_0$$ ¿Cómo?

Answer 1

Dado que $h^{-1}$ es simplemente un escalar, $h^{-1}x+x_0$ es solo una combinación lineal de $x$ y $x_0$. Dado que $x,x_0\in X_0$ y $X_0$ es un subespacio lineal, esto significa que $h^{-1}x+x_0\in X_0.