Descargo de responsabilidad: En realidad, no soy un tipo de matemáticas. La razón principal por la que quería entender las coordenadas baricéntricas es porque necesitaba usarlas en mi renderizador de software. Las he implementado en código, pero ahora realmente quiero entender qué sucede "bajo el capó" de este concepto matemático. Así que mi matemática puede ser un poco ingenua, pero intento hacer lo mejor que puedo.
La definición de las coordenadas baricéntricas es la siguiente:
Definición. Sea $\mathbf{A}$ un espacio euclidiano, plano o afín y los puntos $V_0, \ldots, V_n \in \mathbf{A}$. Entonces, para cualquier punto dado $P \in \mathbf{A}$ existen escalares $k_0, \ldots, k_n$ tales que $\exists \; k_i \neq 0$ y
$$ \sum k_i \; \overrightarrow{OP} = \sum k_i \; \overrightarrow{OV_i} $$
para cualquier $O \in \mathbf{A}$. Estos escalares $k_0, \ldots, k_n$ se llaman las coordenadas baricéntricas del punto $P$ con respecto a los puntos $V_0, \ldots, V_n$.
Pero también he visto que las coordenadas baricéntricas de un punto $P$ dentro de un triángulo $ABC$ se expresan como una tupla $(\alpha, \beta, \gamma)$ tal como
$$ \alpha = \frac{Area \; \triangle BCP}{Area \; \triangle ABC}, \;\;\; \beta = \frac{Area \; \triangle ACP}{Area \; \triangle ABC}, \;\;\; \gamma = \frac{Area \; \triangle ABP}{Area \; \triangle ABC}. $$
y
$$ P = \alpha A + \beta B + \gamma C. $$
Así que quiero demostrar que
Teorema. Sea $\mathbf{A}$ un espacio euclidiano, plano o afín; los puntos $A, B, C \in \mathbf{A}$ forman un triángulo, y el punto $P \in \mathbf{A}$. Entonces los escalares $\alpha, \beta, \gamma$ tales que
$$ \alpha = \frac{Area \; \triangle BCP}{Area \; \triangle ABC}, \;\;\; \beta = \frac{Area \; \triangle ACP}{Area \; \triangle ABC}, \;\;\; \gamma = \frac{Area \; \triangle ABP}{Area \; \triangle ABC} $$
son las coordenadas baricéntricas del punto $P$ con respecto al $\triangle ABC$.
Como lo veo, para demostrar este teorema necesito encontrar una fórmula general de las coordenadas baricéntricas de un punto y luego expresar las áreas de los triángulos a través de sus vértices ($A, B, C$) y si estos resultados son iguales, entonces el teorema estará probado.
También creo que la solución no dependerá de la dimensión de $\mathbf{A}$ pero sería más fácil comenzar con un plano 2D y luego generalizar la demostración a un espacio de $n$ dimensiones.
Prueba. Primero necesitamos expresar las áreas de los triángulos usando las coordenadas de sus vértices. Es fácil hacerlo usando la fórmula del cordón de los zapatos:
$$ Area \; \triangle ABC = \frac{1}{2} \; \left | \; det \begin{pmatrix} A_x & B_x & C_x \\ A_y & B_y & C_y \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right | = \frac{1}{2} (A_x B_y + A_y C_x + B_x C_y - B_y C_x - C_y A_x - A_y B_x), \\ $$
$$ Area \; \triangle BCP = \frac{1}{2} \; \left | \; det \begin{pmatrix} B_x & C_x & P_x \\ B_y & C_y & P_y \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right | = \frac{1}{2} (B_x C_y + B_y P_x + C_x P_y - C_y P_x - P_y B_x - B_y C_x), \\ $$
$$ Area \; \triangle ACP = \frac{1}{2} \; \left | \; det \begin{pmatrix} A_x & C_x & P_x \\ A_y & C_y & P_y \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right | = \frac{1}{2} (A_x C_y + A_y P_x + C_x P_y - C_y P_x - P_y A_x - A_y C_x), \\ $$
$$ Area \; \triangle ABP = \frac{1}{2} \; \left | \; det \begin{pmatrix} A_x & B_x & P_x \\ A_y & B_y & P_y \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right | = \frac{1}{2} (A_x B_y + A_y P_x + B_x P_y - B_y P_x - P_y A_x - A_y B_x). $$
Luego podemos expresar los escalares $\alpha, \beta, \gamma$ de la siguiente manera:
$$ \alpha = \frac{Area \; \triangle BCP}{Area \; \triangle ABC} = \frac{B_x C_y + B_y P_x + C_x P_y - C_y P_x - P_y B_x - B_y C_x}{A_x B_y + A_y C_x + B_x C_y - B_y C_x - C_y A_x - A_y B_x}, $$ $$ \beta = \frac{Area \; \triangle ACP}{Area \; \triangle ABC} = \frac{A_x C_y + A_y P_x + C_x P_y - C_y P_x - P_y A_x - A_y C_x}{A_x B_y + A_y C_x + B_x C_y - B_y C_x - C_y A_x - A_y B_x}, $$ $$ \gamma = \frac{Area \; \triangle ABP}{Area \; \triangle ABC} = \frac{A_x B_y + A_y P_x + B_x P_y - B_y P_x - P_y A_x - A_y B_x}{A_x B_y + A_y C_x + B_x C_y - B_y C_x - C_y A_x - A_y B_x}. $$
Luego necesitamos encontrar las coordenadas baricéntricas "reales" del punto $P$ con respecto a los puntos $A, B, C$. Llamémoslos $u, v, w$:
$$ P = uA + vB + wC. $$
Dado que estamos en 2D ahora, podemos reescribir esta ecuación como un sistema de dos ecuaciones lineales:
$$ \begin{cases} A_x u + B_x v + C_x w = P_x \\ A_y u + B_y v + C_y w = P_y \end{cases} $$
Y aquí es donde me quedo atascado. No puedo resolver este sistema usando la eliminación de Gauss ni el método de Cramer o la matriz inversa (porque en este sistema el número de variables no es igual al número de ecuaciones).
