¿Cómo probar $\mathbb{R}^{2} \rtimes_{\phi_{n}} SO(2) \not \cong \mathbb{R}^{2} \rtimes_{\phi_{m}} SO(2)$ para diferentes $m,n \in \mathbb{N}$?

Question

Sea $$\begin{align*} r_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \end{align*}$$ para $\theta \in[0,2\pi]$. Luego, todos los $r_{\theta}$ forman parte de $SO(2)$.

Sea $$\begin{align*} \phi_{n}:& SO(2) \to \text{Aut}(\mathbb{R}^{2}) \\ &r_{\theta} \to r_{n\theta} \end{align*}$$ un homomorfismo, y úsalo para construir el producto semi-directo $\mathbb{R}^{2} \rtimes_{\phi_{n}} SO(2)$.

Por lo tanto, la operación en $\mathbb{R}^{2} \rtimes_{\phi_{n}} SO(2)$ será $$\begin{align*} (v, r_{\theta}) (u ,r_{\theta'}) &= (v+ r_{\theta}^{n}(u),r_{\theta + \theta '}) \\ &= (v+ r_{n\theta}^{}(u),r_{\theta + \theta '}) \end{align*}$$
Deseo demostrar que para $n, m \in \mathbb{N}$ diferentes, tenemos que $$\begin{align*} \mathbb{R}^{2} \rtimes_{\phi_{n}} SO(2) \not \cong \mathbb{R}^{2} \rtimes_{\phi_{m}} SO(2) \end{align*}$$. Intenté demostrar esto por contradicción. Supongamos que existe un isomorfismo $\psi$, entonces debería preservar el orden de los elementos. Quiero usar este hecho para construir una contradicción, pero me quedé atascado durante bastante tiempo. ¿Alguna ayuda en esto? ¡Gracias!

Answer 1

Definir

$$\color{purple}{G(n)}:= \mathbb{R}^2\rtimes_{\varphi_n}SO(2)$$

con el producto definido en relación a $\varphi_n$ como arriba. Considerar potencias enteras de un elemento en $G(n)$:

$\color{purple}{(u,r_{\theta})}$

$(u,r_{\theta})^2 = (u,r_{\theta})(u,r_{\theta}) = (u+r_{n\theta}(u),r_{2\theta})$

$(u,r_{\theta})^3 = (u,r_{\theta})(u,r_{\theta})^2 = (u,r_{\theta})(u+r_{n\theta}(u),r_{2\theta}) = \big(u+r_{n\theta}(u+r_{n\theta}(u)),r_{3\theta}\big)$

$\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }= (u+r_{n\theta}(u)+r_{n\theta}(r_{n\theta}(u)),r_{3\theta}) = (u+r_{n\theta}(u)+r_{2n\theta}(u),r_{3\theta})$
$\vdots$
$\color{blue}{(u,r_{\theta})^x = \bigg(\sum\limits_{k=0}^{x-1} r_{kn\theta}(u),r_{x\theta}\bigg)},$

donde se ha aplicado la Linealidad de los $r_{}$, así como el hecho especial $r_{\alpha}r_{\beta} = r_{\alpha+\beta}$.

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Si $x$ es el orden de $(u,r_{\theta})$, entonces: $$(u,r_{\theta})^x = \color{purple}{1_{G(n)}} = (0,r_0)$$ $$\implies \sum\limits_{k=0}^{x-1} r_{kn\theta}(u) = 0\text{ }(\in\mathbb{R}^2)\text{ }\text{ }\text{ and }\text{ }\text{ }r_{x\theta} = r_0\text{ }(\in SO(2)).$$ Lo último de lo cual da: $$\theta = \frac{2\pi}{x}\color{purple}{l},\text{ for }l\in\mathbb{Z}.$$ Sustituyendo esto en lo anterior da la ecuación maestra que satisface un elemento finitamente ordenado de $G(n)$:

$$\color{darkblue}{\sum\limits_{k=0}^{x-1}(r_{\frac{2\pi k}{x}})^{(nl)}(u) = 0}$$

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Supongamos ahora, que $\color{purple}{\Phi:G(n)\to G(m)}$ es un isomorfismo y que $\color{purple}{(v,r_{\phi})} := \Phi((u,r_{\theta}))$. Dado que los $\color{red}{\text{isomorfismos preservan el orden}}$, tenemos información correspondiente para $(v,r_{\phi})$. Es decir: $$\phi = \frac{2\pi}{x}\color{purple}{l'},\text{ for }l'\in \mathbb{Z}\text{ and }$$

$$\color{darkblue}{\sum\limits_{k=0}^{x-1}(r_{\frac{2\pi k}{x}})^{(ml')}(v) = 0}.$$

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Igualando a través del vector cero y combinando las sumas da: $$\sum\limits_{k=0}^{x-1}\bigg[\big(r_{\frac{2\pi k}{x}}\big)^{(ml')}(v) - \big(r_{\frac{2\pi k}{x}}\big)^{(nl)}(u)\bigg] = 0$$ $$\implies \sum\limits_{k=0}^{x-1}\big(r_{\frac{2\pi k}{x}}\big)^{(ml')}\bigg[(v) - \big(r_{\frac{2\pi k}{x}}\big)^{(-ml')}\big(r_{\frac{2\pi k}{x}}\big)^{(nl)}(u)\bigg] = 0.$$ Dado que sabemos que $0\notin SO(2)$, debe ser el caso que: $$\forall k\in \{0,...,x-1\}:\text{ }v = (r_{\frac{2\pi}{x}})^{(nl-ml')}(u).$$ Claramente $v$ no puede ser varias imágenes diferentes de $u$ a la vez, por lo que debe ser el caso que: $$nl = ml'.$$ Pero este importante resultado da:

$$v = u\text{ }\text{ and }\text{ }\phi = \frac{n}{m}\theta.$$ En otras palabras, los elementos de orden finito tienen imágenes designadas (isomórficas) de la forma:

$$\color{darkorange}{\Phi\big((u,r_{\theta})\big) = \big(u,r_{(n/m)\theta}\big).}$$

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Ahora, podemos mostrar que $$\exists g\neq 1_{G(n)}\in ker(\Phi:G(n)\to G(m)),$$ lo cual contradice la injectividad a menos que $m=n$. [Exercise] $\blacksquare$