Manifolds with volume forms on every submanifold

Question

Si equipamos una variedad con un producto interno (es decir, tenemos una Variedad Riemanniana) entonces obtenemos una forma de volumen canónica en esa variedad (por favor inserte mentalmente el prefijo "pseudo" en mi pregunta siempre que lo considere necesario).

Cuando tenemos una subvariedad, podemos retrotraer la métrica a lo largo del mapa de inclusión para obtener un producto interno en la subvariedad. Luego obtenemos una forma de volumen en la subvariedad.

Me pregunto si hay algún resultado converso a esto. Estoy buscando algún resultado de la forma:

Supongamos que $\mathcal{M}$ es una variedad con una forma de volumen asignada a cada subvariedad, de modo que estas formas de volumen satisfacen (alguna condición de consistencia). Entonces $\mathcal{M}$ es Riemanniana, y las formas de volumen surgen como se mencionó anteriormente.

Hasta ahora, mi único progreso es darme cuenta de que puedes definir algún tipo de "norma" en dicha $\mathcal{M}$, tomando, para cualquier vector $v$, eligiendo una curva $\gamma:(-1,1)\rightarrow\mathcal{M}$ con $\gamma'(0)=v$, dejando que $\mu$ sea la medida en la subvariedad que es la imagen de esta curva y luego definiendo $$\lVert v \rVert=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{\mu(\gamma((0,\varepsilon))}{\varepsilon}.$$ Pero no veo qué propiedades necesito agregar a las formas de volumen para obtener la desigualdad triangular o la ley del paralelogramo.

Answer 1

Inicialmente, necesitamos considerar solo el espacio tangente $T_p\mathcal{M}$ en cada punto $p$ de la variedad $\mathcal{M}$ de forma independiente (por este comentario, mérito a Oscar Cunningham el 31 de marzo de 2015); cada subvariedad $\mathcal{S}$ de $\mathcal{M}$ que contiene a $p$ tiene un espacio tangente $T_p\mathcal{S}$ que es un subespacio de $T_p\mathcal{M}$. Además, por tu hipótesis, existe una forma cuadrática (o, equivalente, una forma bilineal simétrica) en el espacio tangente. (Supongo característica $0$ por simplicidad.)

Para cada restricción del espacio tangente $T_p\mathcal{M}$ a un subespacio de dimensión $1$ $\mathcal{S}$, la forma cuadrática determina (hasta un signo) una $1$-forma (la forma de volumen para $T_p\mathcal{S}$), y viceversa (de nuevo para $T_p\mathcal{S}$). La forma cuadrática completa en $T_p\mathcal{M}$ entonces queda determinada hasta un solo signo general (esto debería ser evidente a través de la continuidad en los subespacios de dimensión $1$, pero no necesita continuidad para probarlo). A través de la continuidad en $\mathcal{M}$, podemos extender esto a una sola selección de signo de la forma cuadrática para cada componente conectada de la variedad.

Por lo tanto, está claro que las formas de volumen en las subvariedades unidimensionales son suficientes para determinar la forma cuadrática hasta un signo, y por lo tanto también la métrica pseudo-Riemanniana, con la libertad de elegir el signo por separado en cada componente conectada de la variedad. Intuitivamente, una condición de consistencia adecuada (además de los requisitos de continuidad habituales) es que siempre que dos subvariedades estén contenidas en una tercera subvariedad e intersequen en solo un punto, el producto exterior relaciona sus formas de volumen en ese punto.