La suma de una serie geométrica finita es difícil para mí de explicar a mis estudiantes de secundaria. ¿Existe una explicación sencilla?

Question

Soy un profesor de matemáticas de secundaria que le gusta entender el desarrollo y la lógica detrás de las fórmulas, aunque no soy un experto en matemáticas de ninguna manera.

¿Podría obtener ayuda para tratar de explicar cómo en realidad se puede derivar la fórmula para la suma de una serie geométrica finita? Necesito una explicación bastante simple inicialmente, para poder entender la naturaleza esencial de la fórmula. Gracias por permitirme espacio aquí.

Answer 1

¿Qué tal $$s=a+ar+ar^2+\dots ar^n\\rs=ar+ar^2+ar^3+\dots ar^{n+1}\\(r-1)s=ar^{n+1}-a\\s=\frac{ar^{n+1}-a}{r-1}=a\frac{r^{n+1}-1}{r-1}$$

Answer 2

No sé si tú o tus estudiantes están familiarizados con las bases, pero me gusta pensarlo de esta manera:

En base $10$, nótese que $$\begin{align}9+90&=99=100-1 \\ 9+90+900&=999=1000-1 \\ 9+\cdots +9000&=10000-1\end{align}$$ Así que en general parece que $$9+\cdots +9\times10^n=10^{n+1}-1$$ O en base $2$, obtenemos $$\begin{align}1+10=&100-1 \\ 1+10+100=&1000-1 \\ \vdots\end{align}$$ Así que en general, para base $r$, se cumple que $$(r-1)+r(r-1)+r^2(r-1)+\cdots r^n(r-1)=r^{n+1}-1$$ Por lo tanto $$(r-1)(1+r+\cdots r^n)=r^{n+1}-1\implies 1+r+\cdots r^n=\frac{r^{n+1}-1}{r-1}$$ Si hay una constante al frente, simplemente sácala para obtener $$a_0\frac{r^{n+1}-1}{r-1}$$

Answer 3

Intenta con una prueba sin palabras:

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/SequencesSquare.shtml