Modelo de la teoría del campo real cerrado

Question

Escuché en algún lugar que los modelos de la teoría de campo real cerrado son isomórficos.

Sin embargo, también hay una afirmación en Internet que parece decir lo contrario.

¿Son isomórficos los modelos de la teoría de los números reales?

Answer 1

La teoría RCF de campos cerrados reales es completa. Pero no hay un cardinal infinito $\kappa$ tal que RCF sea $\kappa$-categórica. Esto significa que hay modelos no isomorfos de RCF de cardinalidad $\kappa$ para cualquier $\kappa$ infinito.

El resultado es bastante claro para $\kappa=\omega$, ya que los números algebraicos reales son un modelo de RCF, al igual que el cierre real del campo obtenido agregando un trascendental real a los números algebraicos reales.

También no es difícil ver que RCF tiene modelos no isomorfos de cardinalidad $c$, ya que los reales son un modelo, y no es difícil construir un modelo no arquimediano de cardinalidad $c$. Se sigue de la teoría general que RCF, por lo tanto, no es $\kappa$-categórica para cualquier $\kappa$ no numerable.

La teoría de campos algebraicamente cerrados de característica $0$ tiene un mejor comportamiento. No es $\omega$-categórica, pero es $\kappa$-categórica para cada $\kappa$ no numerable.

Answer 2

Los números reales tienen una teoría de segundo orden, es decir, un campo ordenado que es tanto arquimediano como completo. Esta es una teoría categórica y como tal todos sus modelos son isomórficos.

Sin embargo, podemos considerar la teoría de primer orden de campos reales cerrados. Esta teoría no especifica que los campos sean completos, porque no podemos expresar esto en una teoría de primer orden de un solo tipo.

La teoría de los campos reales formales es una teoría de primer orden que no tiene modelos finitos, y por lo tanto tiene un modelo de cualquier cardinalidad: contable, continuum, mayor o menor.

Answer 3

Se ha señalado que hay campos reales cerrados en cualquier cardinalidad, y por supuesto modelos de diferentes cardinalidades no pueden ser isomorfos.

Pero también hay muchos campos reales cerrados numerables no isomorfos. Un primer ejemplo: Sea $M$ el conjunto de todos los números algebraicos reales.

Un segundo modelo: Ahora sea $t\in \mathbb R \setminus M$ trascendental, y sea $M_t$ el conjunto de todos los números reales algebraicos sobre $M (t)$. El modelo $M_t$ es real cerrado, pero ciertamente no es isomorfo a $M$. (Si $f:M_t\to M$ es un isomorfismo, ¿qué debería ser $f(t)$?)

Un tercer modelo: Ahora sea $s\notin M_t$ algún otro real, y sea $M_s$ el conjunto de todos los reales algebraicos sobre $M(s)$. El modelo $M_s$ no es isomorfo a $M$. Además, el modelo $M_s$ tampoco es isomorfo a $M_t, por la misma razón que arriba. (Nota que cualquier isomorfismo de campos entre campos reales cerrados también es un isomorfismo de órdenes).

También hay que tener en cuenta que los tres modelos que he construido hasta ahora son todos arquimedianos. Por supuesto, también hay campos reales cerrados no arquimedianos.

Answer 4

No. Como una teoría de primer orden contable con un modelo infinito, la teoría de campos reales cerrados tiene modelos de cada cardinalidad infinita por el teorema de Löwenheim-Skolem. Claramente, modelos de diferentes cardinalidades no pueden ser isomorfos.