La definición de la representación regular derecha

Question

Estoy teniendo dificultades para entender la definición de la representación regular derecha tal como aparece en el texto de Álgebra Abstracta de Dummit & Foote. En la página 132 dice

Sea $\pi:G \to S_G$ la representación regular izquierda proporcionada por la acción de $G$ sobre sí mismo por multiplicación izquierda. Para cada $g \in G$, denotemos la permutación $\pi(g)$ por $\sigma_g$, de modo que $\sigma_g(x)=gx$ para todo $x \in G$. Sea $\lambda:G \to S_G$ la representación por permutaciones proporcionada por la acción derecha correspondiente de $G$ sobre sí mismo, y para cada $h \in G$ denotemos la permutación $\lambda(h)$ por $\tau_h$. Así $\tau_h(x)=xh^{-1}$ para todo $x \in G$ (a $\lambda$ se le llama la representación regular derecha de $G).

No logro entender esa definición. Antes, en la página 129 los autores explican exactamente cuál es la acción derecha correspondiente a alguna acción izquierda dada:

Para acciones de grupo arbitrarias es un ejercicio fácil verificar que si se nos da una acción de grupo izquierda de $G$ en $A$ entonces el mapa $A \times G \to A$ definido por $a \cdot g=g^{-1} \cdot a$ es una acción de grupo derecha. Recíprocamente, dada una acción de grupo derecha de $G$ en $A$ podemos formar una acción de grupo izquierda por $g \cdot a=a \cdot g^{-1}$. Llamaremos a estos pares acciones de grupo correspondientes.

Si intento encontrar la acción de grupo derecha correspondiente a $g \cdot a=ga$, obtengo $a \cdot g:=g^{-1} \cdot a=g^{-1}a$. Por lo tanto, me parece que la definición debería ser $\tau_h(x)=h^{-1}x$ y no $xh^{-1$)

¿Hay algún error en mi razonamiento?

¡Gracias!

Answer 1

En general, si $G$ actúa en un conjunto $S$ desde la derecha mediante $(x,g) \mapsto x \cdot g$, entonces obtenemos una acción de $G$ en $S$ desde la izquierda mediante $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$.

Sea $*$ la multiplicación de grupo en $G$. Entonces $G$ actúa en $|G|$ (el conjunto subyacente de $G$, no lo confundas con $G$) desde la derecha mediante $x \cdot g := x * g$. Se sigue que obtenemos una acción izquierda de $G$ en $|G|$ mediante $g \cdot x := x \cdot g^{-1} = x * g^{-1}$. Y esto corresponde a un homomorfismo de grupos $G \to S(|G|)$ que mapea $g$ a la permutación $(x \mapsto x * g^{-1})$.

Answer 2

Parece que te preocupan estas frases:

"Sea $\lambda : G \to S_G$ la representación por permutaciones proporcionada por la correspondiente acción derecha de $G$ sobre sí mismo, y para cada $h \in G$ denota la permutación $\lambda(h)$ como $\tau_h$. Así que $\tau_h(x)=xh^{−1}$ para todo $x \in G$ ($\lambda$ se llama la representación regular derecha de $G").

Lo que hiciste al final de tu publicación es lo siguiente: Consideraste la acción de grupo izquierda de $G$ sobre sí mismo por multiplicación izquierda. Luego construiste la correspondiente acción de grupo derecha y lo que obtienes es, correctamente, $x \leftharpoonup h = h^{-1} x$.

Los autores hacen algo diferente en el párrafo anterior. Primero consideran la acción derecha de $G$ sobre sí mismo por multiplicación derecha, es decir, $x \leftharpoonup g := xg$. Pero quieren obtener una "representación por permutación", que ellos denotan como $\lambda : G \to S_G$. Usualmente se quiere que este mapa sea un homomorfismo de grupos. Para asegurarlo, uno necesita empezar con una acción de grupo izquierda. Por lo tanto, lo que se puede hacer es lo siguiente: Considerar la acción de grupo izquierda de $G$ sobre sí mismo correspondiente a la anterior acción de grupo derecha de $G$ sobre sí mismo por multiplicación derecha. Según tu segundo comentario, esto está dado por $g \rightharpoonup x = x \leftharpoonup g^{-1} = x g^{-1}$. Y esto es exactamente lo que los autores afirman.