Diferencia entre ecuaciones diferenciales parciales lineales, semilineales y cuasilineales

Question

Yo sé que una EDP es lineal cuando la variable dependiente $u$ y sus derivadas aparecen solo en la primera potencia. Por lo tanto, $u_t + u_x +5u = 1$ sería lineal.

Sin embargo, no entiendo del todo las otras dos.

Mi profesor describió

• las EDP "semilineales" como EDP cuyos términos de mayor orden son lineales, y

• las EDP "cuasilineales" como EDP cuyos términos de mayor orden aparecen solo como términos individuales multiplicados por términos de menor orden.

No se proporcionaron ejemplos; solo se mostraron declaraciones equivalentes que involucran sumas y multiíndices, las cuales no creo poder descifrar para mañana.

¿Alguien puede proporcionar algunos ejemplos de EDP "semilineales" y "cuasilineales"?

Answer 1

Creo que esto te ayudará a entender la EDP $:$

EDP Lineal: $a(x,y)u_x+b(x,y)u_y+c(x,y)u=f(x,y)$

EDP Semilineal: $a(x,y)u_x+b(x,y)u_y=f(x,y,u)$

EDP Cuasilineal: $a(x,y,u)u_x+b(x,y,u)u_y=f(x,y,u)$

Answer 2

Usando la convención de Einstein para la suma y omitiendo la dependencia de $x$ de $u$ y sus derivadas,

1. lineal: $a^{ij}(x)D_{ij}u+b^i(x)D_iu+c(x)u+d(x)=0$
2. semi-lineal: $a^{ij}(x)D_{ij}u+b(x,u,Du)=0$
3. cuasi-lineal: $a^{ij}(x,u,Du)D_{ij}u+b(x,u,Du)=0$.

Answer 3

Espero que estos ejemplos te ayuden.

Ecuaciones diferenciales parciales semilineales/casi lineales:

1) $a(x,y)u_x+b(x,y)u_y+c(x,y,u)=0$

2) $U_{tt}-U_{xx}+U^3=0$

Ecuaciones diferenciales parciales cuasi lineales:

1) $a(x,y,u)u_x+b(x,y,u)u_y-c(x,y,u)=0$

2) $U_x+UV_y=0$

3) $U_{tt}-UU_{xx}+U^3=0$

4) $U_{tt}-UU_{xx}+U=0$

5) La ecuación de Navier-Stokes también es una ecuación cuasi lineal

Answer 4

Lineal. El grado de la función desconocida es uno en todo momento. Y no hay funciones de la función desconocida. Semilineal. Las derivadas son lineales pero la función desconocida no es lineal. Cuasilineal. Las derivadas del orden no son lineales. Una vez que toda la ecuación no es lineal, entonces se vuelve no lineal.