Un subgrupo normal es la unión de clases de conjugación.

Question

Este es el Ejercicio 2.6.5 de "Álgebra: Abstracta y Concreta" de F. M. Goodman. Quiero verificar mi demostración.

Ejercicio 2.6.5: Demuestra que un subgrupo (de un grupo) es normal si y solo si es la unión de clases de conjugación.

Mi Intento:

Sea $N$ un subgrupo de un grupo $G$. Entonces

$$\begin{align} N\text{ es normal }&\Leftrightarrow \forall g\in G, N=gNg^{-1} \\ &\Leftrightarrow \forall n\in N \forall g\in G\exists m_{n, g}\in N, n=gm_{n, g}g^{-1} \tag{1}\\ &\Leftrightarrow N=\bigcup_{n\in N}\underbrace{\bigcup_{g\in G}\left\{gm_{n, g}g^{-1}\right\}}_{\text{clase de conjugación de }n}\tag{2} \\ &\Leftrightarrow N=\bigcup_{n\in N}[n], \end{align}$$ donde $[n]$ es la clase de conjugación de $n$.$\square$

¿Esta demostración es válida?

Pensamientos:

Espero hacer más explícita la transformación de $(1)$ a $(2)$ (y viceversa).

Ayuda por favor :)

Answer 1

Si $N$ es un subgrupo normal del grupo $G$ y $n\in N$ entonces $gng^{-1}\in N$ para todo $g\in G$ o equivalentemente $[n]\subseteq N$ donde $[n]:=\{gng^{-1}\mid g\in G\}$ es la clase de conjugación de $n$.

Esto nos dice que: $$N=\bigcup_{n\in N}[n]$$ Si, por el contrario, $N$ es un subgrupo del grupo $G$ que satisface $N=\bigcup_{n\in N}[n]$, entonces es inmediato que $gng^{-1}\in N$ para cada $n\in N$ y $g\in G$, por lo que la conclusión de que $N$ es un subgrupo normal está justificada.

Answer 2

Un subconjunto $Y$ de un conjunto $X$ con una acción de $G$ es invariante si y solo si es una unión de órbitas. Aquí $X=G$, la acción es $g \cdot h : = g h g^{-1}$. Por cierto, hay otra acción de $G\times G$ en $G$,

$$(g_1, g_2) \cdot g = g_1 g g_2^{-1}$$

Answer 3

La dirección inversa es bastante sencilla: Si $N_0\triangleleft G$, entonces $x\in N_0$ si y solo si $[x]\subset N_0$. Por lo tanto, $N_0$ debe ser una unión de clases de conjugación.

De manera similar, la dirección hacia adelante también es bastante fácil de ver! Denotemos $N=\bigcup_{x\in H donde $[x]=\{gxg^{-1}:g\in G\}$. Podemos verificar rápidamente los axiomas de grupo de la siguiente manera:

• Operador Binario Asociativo Bien Definido (heredado del grupo $G$): Todo lo que necesitamos verificar para ver que el operador de grupo en $G$ induce un operador binario (asociativo) en $N$ es la cerradura (es decir, $ax\in N$ para cualquier $a,x\in N$). Esto es fácil de verificar por el hecho de que $N\supset[a][x]=\{g_aag_a^{-1}g_xxg_x^{-1}:g\in G\}\supset\{g(ax)g^{-1}:$$g\in G\}=[ax]$; por lo tanto, $[ax]\subset N$.

• Identidad: Dado que $H, se sigue inmediatamente que $1\in N$ (ya que $H).

• Inverso: Usando nuevamente el hecho de que $H, es inmediato que $[x]\subset N$ implica que $[x^{-1}]\subset N$ (si esto no está claro, simplemente observa la construcción de $N$ durante un tiempo y debería ser sencillo).

• Normal: Dado que $N$ es la unión de clases de conjugación, concluimos la normalidad. Con esto, llegamos a la conclusión deseada.

Answer 4

La definición de un subgrupo normal es que $gN=Ng$ para todo $g\in G$, o equivalentemente $gNg^{-1}=N$ para todo $g\in G$. Nota la siguiente trampa: para un $g\in G$ fijo, no es cierto que $gng^{-1}\in N$ para todo $n\in N$ implique que $gNg^{-1}=N$, simplemente implica que $gNg^{-1}$ es un subconjunto de $N$. Por ejemplo, sea $H=\mathbb Q$ bajo la adición, sea $G$ el grupo obtenido a partir de $H$ añadiendo encima el automorfismo $g:x\mapsto 2x$,y sea $N=\mathbb{Z}$. Entonces $gNg^{-1}$ es un subconjunto de $N$, pero no es igual a él.

Supongamos que $N$ es una unión de clases de conjugación. Esto implica que, para todo $g\in G$, $gNg^{-1}$ es un subconjunto de $N$. Ahora necesitamos que la conjugación por $g$ sea una biyección con la inversa de la conjugación por $g^{-1}$. La conjugación por $g$ y $g^{-1}$ son biyecciones y la composición de ambas, que es la identidad, mapea $N$ exactamente sobre $N$. Cada una de las dos conjugaciones mapea $N$ en $N$, y como la composición mapea $N$ sobre $N$, cada conjugación mapea $N$ sobre $N$.

Otra forma de ver esto es suponer que $x\in N\setminus gNg^{-1}$. Existe un $y\in G$ tal que $x=gyg^{-1}$, o equivalentemente $y=g^{-1}xg$. Dado que $x\in N$, $y\in N$, y así $x\in gNg^{-1}$, una contradicción.

Pero sí necesitas este argumento para entender por qué $gNg^{-1}=N$, y no es solo un subconjunto de él.