¿Es todo anillo semisimple un producto de anillos simples?

Question

Estaba preguntándome si las siguientes afirmaciones eran verdaderas;

1) Cada anillo semi-simple es un producto de anillos simples.

2) Todo módulo sobre un anillo de división $R$ es libre.

Pienso que ambas afirmaciones son falsas pero no puedo encontrar ningún contraejemplo. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Si utilizas "semisimple" como yo (para significar "$R$ es la suma directa de sus ideales derechos simples" o "$R$ es Artiniano con $rad(R)=0$") entonces el teorema de Artin-Wedderburn demuestra que la primera afirmación es verdadera.

Para la segunda pregunta, asumo que estás familiarizado con la demostración de que todo espacio vectorial sobre un campo $F$ tiene una base. Una vez que sabes que eso es cierto, y $V$ tiene una base $\{v_i\mid i\in I\}$, entonces puedes mapear elementos de $V$ a sus coeficientes en $\bigoplus_{i\in I} F$ para producir un isomorfismo, demostrando que $V$ es libre. Si revisas esto con anillos de división, verás que la conmutatividad no era necesaria, y todo sigue funcionando aquí también.

También puedes intentar trabajar en la conversa: si todos los módulos derechos de $R$ son libres, entonces $R$ es un anillo de división.