Simple pregunta sobre convergencia casi seguro

Question

¿Cómo se podría demostrar la propiedad siguiente sin usar el Teorema de Convergencia Dominada?

Sea $\left\{{f_n(x)}\right\}$ ($f_n:\mathbb{R^m}\rightarrow{}\mathbb{R}$) una secuencia de funciones tal que $f_n\rightarrow{f}\;a.e$ y $|f_n|\leq{g}$ con $g$ una función integrable. Entonces $f_n\rightarrow{f}$ en $L_1(\mathbb{R^n})$.

¿Alguien conoce un contraejemplo si no es cierta la segunda condición?

Gracias.

Answer 1

La propiedad que estás mencionando es el Teorema de Convergencia Dominada: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_convergencia_dominada

Un simple contraejemplo es la secuencia de funciones $f_n: \mathbb R \to \mathbb R$ definida por $$f_n(x) := \mathbb 1_{[n,n+1[}.$$ Entonces $f_n \to 0$ puntualmente, pero $$\int\lvert f_n - 0 \rvert \, d\lambda = 1 \quad \forall n\in \mathbb N.$$ Nota que no existe una función integrable $g$ como en la afirmación de tu propiedad.