Interpretación de las Ecuaciones de Movimiento

Question

Comencé una conferencia sobre ecuaciones diferenciales con el siguiente ejemplo. Si un cuerpo se está moviendo en línea recta en un plano con velocidad constante, ¿cómo podemos describir este movimiento matemáticamente?

Para responder a esto, coloca un sistema de coordenadas en el plano. Entonces, la trayectoria que sigue el cuerpo está dada por la ecuación de la línea recta $ax+by+c=0$. Si el sistema de coordenadas se cambia, entonces la ecuación de la línea también se cambia; será como $a'x+b'y+c'=0$. Uno puede observar que para ambos sistemas de coordenadas, la trayectoria del movimiento es solución de la ecuación diferencial $\frac{d^2y}{dx^2}=0.

El movimiento del cuerpo se expresa con la ecuación diferencial $\frac{d^2y}{dx^2}=0$, en lugar de una ecuación lineal, ya que es libre de coordenadas.

Luego, en la clase surgió la siguiente pregunta:

¿Qué representan $y$ y $x$ en la ecuación diferencial? ¿Son coordenadas?

No pude responder a esto. ¿Puede alguien ayudarme? ¿Cuál es la forma correcta de decir la ecuación de movimiento del cuerpo (en línea recta, con velocidad constante), que es libre de coordenadas?

Answer 1

Dado que el sistema de coordenadas $Oxy$ es un marco de referencia inercial, la ecuación de movimiento para el cuerpo (cuya masa es $m$) se da por la $2$a ley de movimiento de Newton, es decir, $$\sum F=m\frac{d^2y}{dx^2}=0$$ y su solución es: $\frac{d^2y}{dx^2}=0\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=a\Leftrightarrow y=ax+b$ lo cual representa una línea recta en $Oxy$ (que es la trayectoria de la partícula libre en un sistema de referencia inercial), con $a$, $b$ siendo las constantes de integración que deben determinarse a partir de las dos condiciones iniciales: la posición $x(t_0)$ en $t=t_0$ y la velocidad $u(t_0)=\frac{dx}{dt}\Big|_{t_0}$ en $t=t_0$.

Por otro lado, si el sistema de coordenadas se cambia de $Oxy$ a $O'x'y'$, y el nuevo sistema de coordenadas $O'x'y'$ mantiene una velocidad constante con respecto a $Oxy, es decir, si el nuevo marco de referencia es nuevamente un marco de referencia inercial, entonces en el sistema de coordenadas $O'x'y'$, la ecuación de movimiento se da nuevamente por la $2$a ley de movimiento de Newton, pero ahora con respecto a las nuevas coordenadas $x',y'$, es decir: $$\sum F'=m\frac{d^2y'}{dx'^2}=0$$ y su solución es: $\frac{d^2y'}{dx'^2}=0\Leftrightarrow \frac{dy'}{dx'}=a\Leftrightarrow y'=a'x'+b'$ lo cual representa una línea recta en $O'x'y'$ (es decir, la trayectoria de la partícula libre en un sistema de referencia inercial), con $a'$, $b'$ siendo las constantes de integración (ahora, con respecto a las coordenadas $x'$, $y'$).

P.D.: La $2$a ley de movimiento de Newton proporciona en realidad una descripción libre de coordenadas del movimiento de un cuerpo, siempre y cuando nos mantengamos confinados a observadores inerciales: $$ \sum\vec{F}=m\vec{a} $$ donde, $\vec{F}$ es la fuerza resultante ejercida sobre el cuerpo y $\vec{a}$ es la aceleración del cuerpo, ambas medidas con respecto a un marco de referencia inercial.