Probar este producto

Question

¿Cómo probar este producto? $$\prod\limits_{k=2}^ n {\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}}=\frac{n^2+n+1}{3}$$

Answer 1

Sugerencia: Si $f(m)=m^2+m+1$ y $f(m-1)=m^2-m+1$. Ahora habrá un montón de cancelación Goin '.

Answer 2

Consejo: Nunca duele recoger algunos datos haciendo un cómputo real:

$$\begin{array}{c|l} n&\prod_{k=2}^n\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}\\ \hline 2&\frac73\\ 3&\frac{\color{red}7}3\cdot\frac{13}{\color{red}7}\\ 4&\frac{\color{red}7}3\cdot\frac{\color{blue}{13}}{\color{red}7}\cdot\frac{21}{\color{blue}{13}}\\ 5&\frac{\color{red}7}3\cdot\frac{\color{blue}{13}}{\color{red}7}\cdot\frac{\color{green}{21}}{\color{blue}{13}}\cdot\frac{31}{\color{green}{21}} \end{matriz} $$

Answer 3

$$\prod_{k=2}^n\frac{k^2+k+1}{k^2-k+1}=\frac{\rlap{/}7}{3}\frac{\rlap{\;/}13}{\rlap{/}7}\frac{\rlap{\;/}21}{\rlap{\;/}13}\frac{31}{\rlap{\;/}21}\cdot\ldots$$

¿Ves lo que son los únicos factores que permanecerán?