Siempre función compleja de valor real

Question

Considera la función $f:\mathbb{C}\setminus\{a,b,c,d\}\to\mathbb{C}$ definida por $$f(z)=\dfrac{z}{z-a}- \left(\dfrac{z}{z-b}+\dfrac{z}{z-c}+\dfrac{z}{z-d}\right).$$ Estoy tratando de encontrar la relación entre $a,b,c,d$ para que $f$ siempre asuma solo valores reales.

¿Cómo puedo encontrar una condición así?
Gracias.

Answer 1

Su función es analítica en su dominio. Es bien sabido que una función analítica que solo toma valores reales debe ser constante. ¿Por qué? Las funciones analíticas no constantes son mapeos abiertos, es decir, deben mapear subconjuntos abiertos del dominio a subconjuntos abiertos del espacio objetivo.

Answer 2

Sugerencia:

Paso-1 Simplemente la expresión- $\frac{z}{z-a}=1+\frac{a}{z-a}$. Hazlo para todos.

Paso-2 Haz el denominador real- $\frac{1}{z-a}=\frac{\bar{z}-\bar{a}}{\|z-a\|^2}$. Hazlo para todos.

Paso-3 Haz $f(z)-\bar{f(z)}$ y encuentra cuando es cero.