Continuidad de una función trozos en un punto específico

Question

Tengo problemas para demostrar que la siguiente función no es continua en $x = 0$ usando una definición formal de continuidad.

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} \sin(\frac{1}{x}) & : x \neq 0\\ 0 & : x = 0 \end{array} \right. $

Answer 1

Es más fácil usar la definición de que $f$ es continua en $a$ si $x_n \to a$ entonces $f(x_n) \to f(a)$. Por lo tanto, para probar discontinuidad, solo necesitas encontrar una sucesión $(x_n)$ que converge a $a$ pero la sucesión correspondiente, $\left({f(x_n)}\right)$ no converge a $f(a).

La sucesión $ \left({\dfrac{2}{n \pi}}\right) $ serviría.

Answer 2

Simplemente no tiene límite en $x=0$ y esto se puede demostrar fácilmente utilizando la definición de límite de Heine.

Answer 3

Toma $\epsilon = \tfrac12$. Para demostrar la continuidad en $x=0$, tendríamos que encontrar algún $\delta>0$ tal que $|f(x)| < \epsilon$ siempre que $|x| < \delta$. Entonces, tomamos un $\delta$ que pensemos que podría ser adecuado. Elegimos un número entero impar $n$ tal que $n>\frac{2}{\pi\delta}$, y dejamos $x = \frac{2}{n\pi}$. Luego $|x| < \delta$ y $f(x) = \sin(1/x) = \sin n\pi/2 = \pm 1$. Por lo tanto, no importa qué $\delta$ elijamos, siempre podemos encontrar un $x$ con $|x| < \delta$ y $|f(x)| = 1$.

En inglés simple, en lugar de la jerga de $\epsilon$-$\delta$: tenemos $f(0)=0$, pero hay valores arbitrariamente pequeños de $x$ para los cuales $f(x)=1$, así que no hay esperanza de continuidad.