Comprendiendo la Continuidad de Lipschitz

Question

He oído varias veces que las funciones son Continuas de Lipschitz en mis clases, pero nunca parece entender exactamente qué es este concepto.

Aquí está la definición.

$\left | f(x_{1})-f(x_{2}) \right |\leq K\left | x_{1}-x_{2} \right |$

Aquí está la función que estoy usando. Se sabe que esta es Lipschitz Continua.

$f(x)=\sqrt{x^2+5}$

Si eliges algunos puntos. Aquí elegí (1, 0.408) y (2, 0.66).

El resultado es:

$\left | 0.252 \right |\leq K\left | 1 \right |$

Entonces, siempre y cuando K sea 0.252 o más grande, ¿esta función es Lipschitz Continua?

¿Qué pasa si elijo K para que sea 0.0001? ¿La función ya no es Lipschitz Continua?

Para mí es difícil de entender, ¿por qué no siempre elegir K para que sea muy grande de manera que la función siempre sea Lipschitz Continua?

A menos que el lado izquierdo de la desigualdad sea infinito, ¿no se puede siempre encontrar un K lo suficientemente grande para satisfacer esta desigualdad?

Answer 1

La continuidad de Lipschitz no dice que si tomas cualquier $x, y$ y graficas $|f(x) - f(y)| \leq M|x-y|$. Dice que $M$ está fijo y la desigualdad se cumple para todos los $x, y \in \mathbb R$. Esta es una condición mucho más fuerte. Si todo lo que necesitabas hacer era elegir algún $M$ para cada elección de $x, y$, la condición no significaría nada.

Si tu función es diferenciable, la continuidad de Lipschitz simplemente dice que la función tiene derivada acotada. Pienso en esto como un límite de "agitación" y "estiramiento".

Para el estiramiento, dice que una función $f: \mathbb R \to \mathbb R$ no puede crecer demasiado rápido. Por ejemplo, si la constante de Lipschitz fuera $1$ y $f(0)=0$, entonces quedará atrapada entre las dos líneas $y=x-1, x+1$. Básicamente significa que no puede crecer demasiado rápido, ni agitarse demasiado.

Si la constante $M <1$, se dice que una función es una contracción que también tiene muchas propiedades agradables.

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Answer 2

No se puede elegir K lo suficientemente grande para que una función sea Lipschitz continua si no lo son. Ese es el punto principal de ese tipo de continuidad. Si $f$ no es Lipschitz continua, y dices que $K = 10^6$, puedo encontrar un par de puntos $x_1$ y $x_2$ tal que $|f(x_1) - f(x_2)| \geq 10^6|x_1 - x_2|$.

Piensa en el teorema del valor medio y la continuidad de Lipschitz.

El teorema del valor medio dice que si $f$ es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), entonces

$\exists c \in (a,b)$ tal que $\displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(c)$.

Lipschitz dice que

$\exists K > 0, \forall a,b \in D_f, \mbox{ tal que } \displaystyle\frac{|f(b) - f(a)|}{|b - a|} \leq K$.

Entonces, si la derivada de $f$ como función está acotada, entonces $f$ será Lipschitz.

Considera el caso

$f(x) = \sqrt{x}$ para $x \in [0,1]$, entonces $f$ no es Lipschitz, ya que $\displaystyle\sup_{x \in [0,1]}f'(x) = \displaystyle\lim_{x\to 0} f'(x) = +\infty$.

Además, como nota adicional, si una función $f$ definida en $S \subseteq \mathbb R$ es Lipschitz continua, entonces $f$ es uniformemente continua en $S.

Answer 3

Definición: $f$ es Lipschitz si existe $K>0$ tal que para todo $x,y\in dom(f)$ tenemos $$(1)\quad |f(x)-f(y)|

El valor de $K$ no es único, ya que si (1) se cumple para todo $x,y\in dom (f)$ entonces también se cumplirá con $K$ reemplazado por $42K.$ Lo que importa es si $al$ $menos$ $existe$ $un$ $K>0$ tal que (1) se cumple para todo $x,y \in dom(f).$

Answer 4

La continuidad de Lipschitz te da un límite sobre qué tan rápido pueden separarse las cosas en la imagen.

Configuración

• Supongamos que $f:X\rightarrow Y$ es un mapa entre espacios métricos.

• Supongamos que $\omega:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)$ es continua y fija 0. Pensamos en este mapa como "cuantificando la tasa máxima a la cual puntos cercanos pueden ser separados por nuestro mapa". Llamamos a esto $\omega$ el módulo de continuidad de f.

• Sean x y z puntos en $X$.

Explicación Si x y z están cerca, digamos que su distancia $d(x,z)$ es $1/10^{1000}$ entonces sus imágenes en $Y$ bajo f, digamos, $f(x)$ y $f(z)$ también están cerca. Además, podemos decir qué tan cerca deben estar al menos; precisamente, no están a más de $\omega(1/10^{1000})$ de distancia.

De igual manera, si ambos puntos están lejos, digamos que su distancia $d(x,z)$ es $1000000$ entonces sus imágenes en $Y$ bajo f, digamos, $f(x)$ y $f(z)$ no están a más de $\omega(1000000)$ de distancia. Así que estos dos puntos pueden estar lejos pero no más lejos que $\omega(1000000)$.

Si $X$ es compacto, por ejemplo $[0,1]$ con distancia euclidiana, entonces tal $\omega$ debe existir. Sin embargo, por lo general no hay garantía de que sea fácil de trabajar. Aquí es donde entra en juego la condición de Lipschitz. Postula que la cosa que cuantifica la peor caso de estiramiento, es decir $\omega$, es un mapa lineal ($\omega(t)=Kt$ en lugar de algo extraño como $\omega(t)=\max\{t,\sqrt{t}\}$).

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Antecedentes La condición de Lipschitz se vuelve razonable, gracias al Teorema de Rademacher-Stephanov. En el caso donde X e Y son euclidianos, que establece que una función en un X compacto es Lipschitz si es diferenciable casi en todas partes con un gradiente uniformemente acotado.