Los resultados integrales en la diferencia de medias son $\pi(\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab})$

Question

$$\int_a^b \left\{ \left(1-\frac{a}{r}\right)\left(\frac{b}{r}-1\right)\right\}^{1/2}dr = \pi\left(\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}\right)$$

¡Qué integral tan interesante! Lo que me llama la atención es que el resultado involucra la diferencia entre la media aritmética y la media geométrica. ¿Existe una explicación geométrica innata que corresponda a este resultado? ¿Y podemos generalizar esta integral a, digamos, la media de tres o más elementos?

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Algo de contexto sobre dónde lo vi y cómo resolverlo. Esto surge al calcular la variable de acción $I$ para el problema de Kepler (Hamiltoniano $H=\frac{p_r^2}{2m}+\frac{p_\phi^2}{2mr}-\frac{k}{r}$). Los valores $a, b$ son los mínimos y máximos $r$ desde el origen establecidos en el foco de una elipse (es decir, el perihelio/afelio). Ver notas de David Tong sobre Dinámica Clásica $\S$4.5.4.

Pude resolver la integral usando la tercera sustitución de Euler, dejando

$$\left\{ \left(1-\frac{a}{r}\right)\left(\frac{b}{r}-1\right)\right\}^{1/2}=\frac{1}{r}\sqrt{-(r-a)(r-b)}=\frac{1}{r}(r-a)t$$

dando $r=\frac{b+at^2}{1+t^2}$ y

$$2(b-a)\left\{\int_{t(r_2)=0}^{t(r_1)=\infty}\frac{t^2}{(1+t^2)^2}dt - \int_{t(r_2)=0}^{t(r_1)=\infty}\frac{\frac{a}{b}t^2}{(1+t^2)(1+\frac{a}{b}t^2)}dt\right\}$$ $$=\pi\left(\frac{b-a}{2}\right) + \pi\left(a-\sqrt{ab}\right)=\pi\left(\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}\right).$$

Answer 1

Si $0\le a\le b,$ entonces \begin{align} &I_1 = \int\limits_a^b \left\{ \left(1-\frac{a}{r}\right)\left(\frac{b}{r}-1\right)\right\}^{-1/2}\,\mathrm dr = \int\limits_a^b \dfrac{r}{\sqrt{(r-a)(b-r)}}\,\mathrm dr\\ &=\dfrac12\int\limits_a^b \dfrac{2r-(a+b)}{\sqrt{(r-a)(b-r)}}\,\mathrm dr+\dfrac{a+b}2\int\limits_a^b \dfrac{a+b}{\sqrt{(r-a)(b-r)}}\,\mathrm dr\\ &=-\dfrac12\int\limits_a^b \dfrac{\mathrm d((r-a)(b-r))}{\sqrt{(r-a)(b-r)}} + \dfrac{a+b}2\int\limits_a^b \dfrac{\mathrm dr}{\sqrt{\left(\dfrac{b-a}2\right)^2-\left(r-\dfrac{b+a}2\right)^2}}\\ &=-\sqrt{(r-a)(b-r)}\Bigg|_a^b + \dfrac{a+b}2\arcsin\dfrac{2r-(b+a)}{b-a}\Bigg|_a^b = \pi\dfrac{a+b}2,\\ &I_2 = \int\limits_a^b \left\{ \left(1-\frac{a}{r}\right)\left(\frac{b}{r}-1\right)\right\}^{-1/2}\left(1-\left\{ \left(1-\frac{a}{r}\right)\left(\frac{b}{r}-1\right)\right\}\right)\,\mathrm dr\\ & = \int\limits_a^b \dfrac{2r^2-(a+b)r+ab}{\sqrt{(r-a)(b-r)}}\,\dfrac{\mathrm dr}r = \int\limits_a^b \dfrac{2r-(a+b)}{\sqrt{(r-a)(b-r)}}\,\mathrm dr - ab\int\limits_a^b \dfrac{1}{\sqrt{(1-\frac ar)(\frac br-1)}}\,\mathrm d\left(\dfrac1r\right)\\ &=-\sqrt{(r-a)(b-r)}\Bigg|_a^b + ab\int\limits_{1/b}^{1/a}\dfrac{\mathrm dt}{\sqrt{(1-at)(bt-1)}} = \sqrt{ab}\int\limits_{1/b}^{1/a}\dfrac{\mathrm dt}{\sqrt{(\frac1a-t)(\frac1b-t)}}\\ &= \sqrt{ab}\int\limits_{1/b}^{1/a}\dfrac{\mathrm dt}{\sqrt{\left(\frac{\frac1a-\frac1b}2\right)^2 - \left(t-\frac{\frac1a+\frac1b}2\right)^2}} = \sqrt{ab}\arcsin\dfrac{{2t-\left(\frac1a+\frac1b\right)}}{{\frac1a-\frac1b}}\Biggr|_{1/b}^{1/a} = \pi\sqrt{ab}.\\ \end{align} Esto permite presentar la integral del problema (o el cuadrado bajo el gráfico de la función correspondiente) como el cuadrado entre dos funciones similares, que presentan la Media Aritmética (AM) y la Media Geométrica (GM) de $a$ y $b$ (ver también gráfico de Wolphram Alpha,(1-(1-2%2Fr)(8%2Fr-1))%2Fsqrt((1-2%2Fr)(8%2Fr-1))%7D,%20where%20r%5Cin(2,8))).