¿Entendiendo la solución a una ecuación diferencial particular?

Question

Entonces me encontré con este problema:

$(3x^2+1)y' -2xy = 6x$

Lo resolví mediante el factor de integración $ e^{\int\frac{-2x}{3x^2+1} dx}$

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$\int D[(3x^2+1)^{\frac{-1}{3}}y] = \int 6x(3x^2+1)^{\frac{-4}{3}} dx$

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$(3x^2+1)^{\frac{-1}{3}}y = -3(3x^2+1)^{\frac{-1}{3}} + C$

$y = -3 + C(3x^2+1)^{\frac{1}{3}}$

mi pregunta es cómo interpretar la solución $y=-3 + C(3x^2+1)^{\frac{1}{3}}$. Entiendo por qué el método del factor de integración funciona para resolver el problema. ¿Por qué la respuesta salió tan simple después de tanto trabajo? ¿Podría haberlo resuelto 'más rápido'?

Answer 1

Puedes transformar la ecuación simplemente como $$ (3x^2+1)y'=2x(y+3) \\~\\ y'=\frac{2x}{3x^2+1}(y+3) $$ Esta es una ecuación separable y el caso de la solución constante $y=-3$ aparece directamente como la que se excluye para realizar la separación de variables. Luego continúa $$ \int\frac{dy}{y+3}=\int\frac{2x\,dx}{3x^2+1}. $$