Cómo probar que $\lim\limits_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln a$

Question

Para encontrar la derivada de una función exponencial, en su forma general $a^x$ por la definición, utilicé límites.

$\begin{align*} \frac{d}{dx} a^x & = \lim_{h \to 0} \left [ \frac{a^{x+h}-a^x}{h} \right ]\\ \\ & =\lim_{h \to 0} \left [ \frac{a^x \cdot a^h-a^x}{h} \right ] \\ \\ &=\lim_{h \to 0} \left [ \frac{a^x \cdot (a^h-1)}{h} \right ] \\ \\ &=a^x \cdot \lim_{h \to 0} \left [\frac {a^h-1}{h} \right ] \end{align*} $

Sé que este último límite es igual a $\ln(a)$ pero ¿cómo puedo comprobarlo utilizando propiedades básicas de álgebra y exponencial y logaritmos? Gracias

Answer 1

En primer lugar, se demuestra para $a=e$.

Que $\frac{1}{t} = e^h - 1$. A continuación, $e^h = 1+\frac{1}{t}$, que $h = \ln(1 + \frac{1}{t})$. $h\to 0$, Tenemos $\frac{1}{t}\to 0$, que $t\to \infty$ (si $h\to 0^+$) o $t\to-\infty$ (si $h\to 0^-$). Contamos con: $$\begin{align*} \lim_{h\to 0^+}\frac{e^h-1}{h} &= \lim_{t\to\infty}\left(\frac{1/t}{\ln(1+\frac{1}{t})}\right)\\ &= \lim_{t\to\infty}\frac{1}{t\ln(1+\frac{1}{t})}\\ &= \lim_{t\to\infty}\frac{1}{\ln\left( (1+\frac{1}{t})^t\right)}\\ &= \frac{1}{\ln\left(\lim_{t\to\infty}(1 + \frac{1}{t})^t\right)}\\ &= \frac{1}{\ln(e)}\\ &= 1. \end{align*} $$ ya que también tenemos $$ \begin{align*} \lim_{t\to-\infty}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^t &= \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{-n}\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1 + \frac{-1}{n})^n}\\ &= \frac{1}{e^{-1}}\\ &= e,\end{align*} $$ un cálculo similar demuestra que $$\lim_{h\to 0^-}\frac{e^h-1}{h} = 1.$ $ por lo tanto, $$\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h} = 1.$ $

Ahora arbitraria $a\gt 0$, $a\neq 1$, $a^h = e^{h\ln(a)}$ de escribir y hacer la sustitución $t = h\ln(a)$. Entonces el resultado se sigue del caso $a=h$ como Gerry Myerson.

Answer 2

Depende un poco de lo que usted está dispuesto a aceptar como "Álgebra básica y exponenciales y logaritmos propiedades". Mira primero en el caso de $a$ $e$. Usted necesita saber que $\lim_{h\to0}(e^h-1)/h)=1$. ¿Estás dispuesto a aceptar eso como una "característica básica"? Si es así, entonces el $a^h=e^{h\log a}$ que $$(a^h-1)/h=(e^{h\log a}-1)/h={e^{h\log a}-1\over h\log a}\log a$$ so $% $ $\lim_{h\to0}(a^h-1)/h=(\log a)\lim_{h\to0}{e^{h\log a}-1\over h\log a}=\log a$