Mapa diferenciable que envía un cuadrado a un círculo

Question

La pregunta es tan simple. ¿Existe alguna construcción conocida de una aplicación diferenciable $\phi \colon U \subset \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ que envíe un cuadrado cerrado $Q\subset U$ a un círculo?

Por supuesto, la derivada de $\phi$ en los vértices de $Q$ no será invertible.

Observa que la aplicación compleja $z\mapsto z^2$ envía el primer cuadrante a la mitad superior del plano. Luego endereza el ángulo recto.

Answer 1

Si tomamos el cuadrado $Q$ con vértices en $(\pm1,\pm1)$ y $(\pm1,\mp1)$, entonces $\phi\colon Q\to S^1$ definida por

$$\phi(x,y)=\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

mapea $Q$ al círculo unitario $S^1$.

Answer 2

• Primero traduce $Q$ a algún cuadrado $R$ en el semiplano superior, y así $R$ está disjunto del origen;
• Luego compone con la función norma $(x,y) \mapsto \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$ que lleva a $R$ a algún arco $A$ del semicírculo superior (necesitabas que $R$ estuviese disjunto del origen para que el denominador de esta función nunca sea cero en $R$);
• Y finalmente, dependiendo del ángulo total $\theta \in (0,\pi)$ de $A$, toma una potencia suficientemente alta $z \mapsto z^n$ (elegida de manera que $n\ge \frac{2\pi}{\theta}$) para estirar $A$ sobre todo el círculo.

Si escribes cada una de estas tres funciones en coordenadas $(x,y)$, y luego las compones en el orden correcto, obtendrás tu función deseada.

Answer 3

No estoy seguro si con "cuadrado" te refieres a un cuadrado completo con interior o solo al límite. (En el segundo caso, otros han respondido a esto.)

Si te refieres a un cuadrado con interior, entonces puedes considerar un mapa que mapea el borde más alto del cuadrado a una curva que rodea el círculo dando una vuelta y media en una dirección, y luego regresa.

En el borde inferior del cuadrado, el mapa será constante.

El resto del cuadrado será una homotopía suave entre esos dos.

Si te refieres a un mapa de un cuadrado completo en una bola (disco) entonces es aún más fácil: considera un mapa, en coordenadas polares $rv\mapsto \phi(r) v$ para que $\phi$ sea una identidad en $[0, \frac{1}{2}]$ y sea igual a $1$ para $r\geq 1$.

Answer 4

Normalmente usamos la fórmula de coordenadas polares $r(\theta,n)=(\cos^n\theta+\sin^n\theta)^{-1/n}$ para graficar un cuadrado casi perfecto .