¿Puedes mostrarme un ejemplo razonablemente simple (utilizando solo herramientas grupales elementales) de un grupo infinito con solo 2 clases de conjugación?
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Dudo que alguien pueda darte una construcción elemental. Hay tales grupos, pero las únicas construcciones que conozco involucran cosas como extensiones de HNN y productos libres con amalgamaciones; difícilmente "herramientas grupales elementales". Y las únicas presentaciones que conozco para tales grupos son presentaciones infinitas.
Aquí hay una construcción:
Recuerda que una extensión HNN es una construcción que logra lo siguiente: sean $H$ y $K$ subgrupos de un grupo $G$, y sea $\varphi\colon H\to K$ un isomorfismo de grupos. Entonces hay un sobregupo $\mathfrak{G}$ de $G$ y un elemento $t\in\mathfrak{G}$ tal que $tht^{-1} = \varphi(h)$ para cada $h\in H; es decir, $H$ y $K$ son conjugados en $\mathfrak{G}$, y la conjugación "realiza" el isomorfismo $\varphi$.
La construcción es la siguiente: deja que $t$ genere un grupo cíclico infinito; luego considera el producto libre $G*\langle t\rangle$; sea $N$ el subgrupo normal más pequeño de $G*\langle t\rangle$ que contenga todos los elementos de la forma $tht^{-1}\varphi(h)^{-1}$. Entonces $\mathfrak{G}=G*_{\varphi} = (G*\langle t\rangle)/N$ es el grupo deseado. Mostrar que contiene una copia de $G$ es la parte no trivial de la construcción (es decir, mostrar que $N$ no contiene ningún elemento de $G). El elemento $t$ se llama una "letra estable".
Dando por sentado que esto se puede hacer, entonces a partir de cualquier grupo sin torsión $G$ podemos construir un nuevo grupo sin torsión $\mathfrak{G}$ que contiene $G, y en el cual cada elemento distinto de la identidad de $G$ es conjugado (en $\mathfrak{G}). Simplemente realiza una serie (posiblemente infinita) de extensiones de HNN que hace que pares de elementos no conjugados no identidad de $G$ sean conjugados (los subgrupos que generan son isomorfos). No es difícil verificar que si $G$ es sin torsión entonces también lo es $\mathfrak{G}.
Entonces, comienza con tu grupo no trivial sin torsión favorito; por ejemplo, $G_1 = \mathbb{Z}$. Deja que $G_2$ sea un grupo sin torsión en el que cada elemento distinto de la identidad de $G_1$ sea conjugado entre sí. Luego deja que $G_3$ sea la misma construcción para $G_2$. De forma inductiva, obtenemos una cadena ascendente de grupos $$G_1\subseteq G_2\subseteq G_3\subseteq\cdots\subseteq G_n\subseteq \cdots$$ tal que para todo $i$, si $x, y \in G_i$ son diferentes de la identidad, entonces existe $z\in G_{i+1}$ tal que $zxz^{-1}=y.
Ahora verifica que $\cup G_n$ es un grupo en el que cualquier par de elementos no triviales son conjugados.
Esto es el Ejercicio 11.78 en la Introducción a la Teoría de Grupos de Rotman, 4ta edición.
Kevin Wiskia
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Peter Cameron describe la construcción de un grupo infinito con 2 clases de conjugación en la página 8 de su libro Grupos de Permutación. Para más detalles, consulte el artículo clásico: Graham Higman, Bernhard H. Neumann y Hanna Neumann, Teoremas de incorporación para grupos, J. London Math. Soc. (1) 24 (1949), 247-254. Esto brinda más detalles que el ejercicio de Rotman mencionado por Arturo.
