La siguiente imagen es la prueba de "la función de distancia en una variedad Riemanniana es una métrica".
¿Cómo dedujo el autor que la longitud de cualquier curva desde $p$ hasta el límite de la bola dada es al menos $r/\lambda_0$?
Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Escribe la integral para la longitud de cualquier camino desde $p$ hasta el borde de la bola (presumiblemente están eligiendo $r$ para que el punto $q$ esté fuera de la bola). Si tienes una matriz simétrica $A(x)$ cuyo menor valor propio positivo es al menos $\lambda_0$, ¿qué puedes decir sobre $\sqrt{u^\top A(x) u}$ para cualquier vector $u$? Ahora integra la expresión apropiada para obtener la longitud del camino, ¿cuál es el límite inferior que tienes?
