Equivalente de la medida de empuje hacia adelante

Question

Configuración

Dados los espacios medibles $(X_1,\Sigma_1)$ y $(X_2,\Sigma_2)$, una aplicación medible $f:X_1 \to X_2$ y una medida $\mu: \Sigma_1 \to [0,\infty]$, el empuje hacia adelante de $\mu$ se define como la medida $f_{*}\mu:\Sigma_2 \to [0, \infty]$ dada por

$$ (f_{*} \mu) (B) = \mu \left( f^{-1} (B) \right) \quad \mbox{ para } B \in \Sigma_{2}. $$

Pregunta

Si $f$ es una biyección, $f^{-1}$ también es medible y $(X_1,\Sigma_1)=(X_2,\Sigma_2)$ son uno mismo, ¿esto implica que $$ \mu<

Answer 1

Las medidas no necesitan ser equivalentes. Por ejemplo, consideremos cualquier conjunto $X$ con la medida de Dirac $\delta_x$ centrada en $x \in X$. Dada cualquier biyección $f:X \to X$, la medida empujada hacia adelante $f_{\ast} \delta_x$ es simplemente $\delta_{f(x)}$, la medida de Dirac centrada en $f(x)$. Por lo tanto, las medidas no son equivalentes a menos que $f(x)=x$, en cuyo caso son iguales.

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Una pregunta interesante es: ¿podemos encontrar condiciones "naturales" bajo las cuales $f_{\ast} \mu$ y $\mu$ son equivalentes? No sé cómo hacer esto preciso, pero mi impresión es que esta situación es la excepción más que la regla. Aquí hay algunas ideas al respecto, las cuales están muy lejos de ser un panorama exhaustivo.

Sea $(X,\Sigma)$ un espacio medible, $\mu$ una medida en $X$ y $f:X \to X$ sea una aplicación medible. $\mu$ y $f_{\ast}\mu$ son equivalentes si y solo si tienen los mismos conjuntos nulos. Esto significa que $\mu(A) =0 \Leftrightarrow \mu( f^{-1}(A)) =0$. Cuando $f$ tiene una inversa medible, esto se puede reformular como: $$ \mu(A) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \mu(f(A))=0 \quad \text{y} \quad \mu(f^{-1}(A))=0 $$ Esto significa que tanto $f$ como $f^{-1}$ satisfacen la propiedad N de Luzin, es decir, envían conjuntos de medida $0$ a conjuntos de medida $0.

Incluso en el caso donde $X= \mathbb{R}^n$ y $\mu$ es la medida de Lebesgue, no hay una caracterización "fácil" de las aplicaciones con la propiedad N. Ejemplos de tales aplicaciones son aplicaciones localmente lipschitzianas (como aplicaciones $C^1$) y aplicaciones absolutamente continuas en dimensión $1$. (Ver aquí o aquí para más detalles al respecto.)

Sin embargo, un resultado restrictivo es que las aplicaciones de un intervalo que son continuas y tienen la propiedad N son diferenciables en un conjunto de medida positiva (este es el problema 5.8.57 de la Teoría de la Medida de Bogachev). Vemos que incluso en esta situación simple, la condición de que $\mu$ y $f_{\ast} \mu$ sean equivalentes es bastante restrictiva, ya que "la mayoría" de las funciones continuas no son diferenciables en ninguna parte. (Pero, nuevamente, la mayoría de las aplicaciones medibles son discontinuas...)