El papel que usted cita cubre un caso similar, que fue resuelto con anterioridad por la S. T. Ma (Phys. Apo. 69 no. 11-12 (1946), pág. 668), pero se aborda el problema dispersión en la cola de la exponencial - de ahí el complejo de energías. Lo que sigue es, en parte inspirado en el papel, pero es muy distinta de él. La parte difícil no es conseguir asustado por las funciones de Bessel, pero por eso tenemos la teoría de funciones especiales.
Por un lado, la exponencial potencial de $e^{|x|}$ pide es una función par, lo que significa que las correspondientes funciones propias en $(-\infty, \infty)$ será par o impar. Por lo tanto, pueden ser tratados como funciones propias de la más simple potencial de $e^x$$(0,\infty)$, con la condición de límite $\psi'(0)=0$ o $\psi(0)=0$, respectivamente. Ya de preguntar acerca de la última condición, no hay ningún punto en mantener el valor absoluto.
El problema, entonces, es el autovalor problema
$$-\frac{d^2}{dx^2}\psi+A e^x \psi=E\psi\text{ under }\psi(0)=0=\psi(\infty).\tag{problem}$$
(Una palabra en las dimensiones: Para obtener la ecuación de esta forma, hemos tenido que establecer $\hbar, m$ y la escala de la longitud de la exponencial de a 1, tomando las unidades de tiempo, masa y longitud, respectivamente. Esto significa que no hay más dimensiones de la libertad, y el hamiltoniano tiene un parámetro libre, $A$, lo que afectará no sólo a la escala del espectro (que se puede esperar como $A$ es un incremento en el potencial) sino también en su estructura.)
Amore et al. tratar esto como un límite-el problema del valor en $\mathbb C$ y utilizando un cambio de variable compleja. Esto complica el tema más de lo que es realmente necesario y para simplificar voy a utilizar sólo variables reales, aunque éste viene en el costo de lidiar con las funciones de Bessel modificadas en lugar de los estándar. El paso inicial es el cambio de variable a $z=2\sqrt{A}e^{x/2}$, por lo que el $Ae^x=z^2/4$ y derivados de la transformación de la
$$
\frac {\partial }{\partial x}=\frac {\partial z}{\partial x}\frac {\partial }{\partial z}=\frac {z }{2}\frac {\partial }{\partial z}
\text{ para }
\frac {\partial^2 }{\partial x^2}
=\frac14\left(
z^2\frac {\partial^2 }{\partial z^2}+z\frac {\partial }{\partial z}
\right).
$$
La última ecuación es así
$$
\left[
z^2\frac {\partial^2 }{\partial z^2}+z\frac {\partial }{\partial z}-(z^2+\nu^2)
\right]\psi=0
\etiqueta{equation}
$$
donde $\nu=i\sqrt{4E}$. (Sí. Algunos complejidad es inevitable. Miedo No, finalmente no importa.)
Esta ecuación es la ecuación de Bessel modificadas con el índice de $\nu$. Esta es exactamente la misma que la ecuación de Bessel para obtener más situaciones normales; el índice es complejo, pero eso es todo. Dos soluciones linealmente independientes son la modificación de funciones de Bessel de primera y segunda clase, $I_\nu(z)$$K_\nu(z)$, por lo que la solución general de la $(\text{equation})$ parece
$$
\psi(z)=aI_\nu(z)+bK_{\nu}(z).
$$
Nosotros, a continuación, sólo tendrá que imponer las condiciones de contorno $\psi|_{z\rightarrow \infty}=\psi|_{z=2\sqrt{A}}=0$:
La condición en el infinito, exige que se establezca el coeficiente de $I_\nu$ a cero, ya que el Primer Tipo de función siempre explota. Podríamos haber hecho esto desde el principio: $K_\nu$ es, por definición, el exponencialmente descomposición de la solución, mientras que $I_\nu$ crece de manera exponencial.
La condición en la $x=0$, a continuación, simplemente requiere que el $K_\nu(2\sqrt{A})=0$. En términos de energías, entonces,
$$
\boxed{K_{2\sqrt E}(2\sqrt{A})=0,}
$$
y este es su condición de cuantización.
Como sucede, $K_\nu(z)$ es real, real $z$ y puramente imaginario $\nu$. Una manera de demostrar esto es a través de esta representación integral:
$$
K_{\nu}(x)
=\sec(
{\nu\pi}/{2})\int_{0}^{\infty}\cos(x
\sinh\nolimits t)\cosh(\nu t)dt,
$$
que es el análogo de Bessel de Primera Integral para $K_\nu$. Debo confesar, sin embargo, que mi intuición no es tan buena aquí y realmente no puedo señalar a la razón profunda por la que.
Desde $K_\nu$ es real aquí, por la razón que sea, nos puede pedir su ceros. Como con todas las de Bessel ceros no hay ninguna posibilidad de primaria fórmula para ellos, pero se puede encontrar con bastante facilidad utilizando métodos numéricos (por las propiedades de los ceros, ver este DLMF de referencia). Para un catador, aquí están algunos de los gráficos, en log-lineal de la escala (para mostrar ceros arriba como hacia abajo, de registro-como picos), de $K_{2i\sqrt{E}}(2\sqrt{A})$ como una función de la $E$, para diferentes valores de $A$.
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Mientras que no hay mucho que decir acerca de las energías de esto, es claro que hay un infinito contable de ellos, que ellos son más grandes que las $A$, y que el espaciamiento aumenta con el aumento de la $A$ $n$ (por qué?) - pero eso es realmente todo lo que había realmente queremos saber!
Sólo para la integridad: las funciones propias de ellos mismos, entonces, son de la forma
$$\psi_n(x)=C_nK_{2i\sqrt{E_n}}\left(
2\sqrt{A}e^{x/2}
\right).$$
Es interesante notar que la dependencia en $n$ llega a través del índice en lugar de un coeficiente antes de $x$. Esto se debe en parte a garantizar la muy estricta decaimiento $\psi\sim e^{-\exp(x/2)}$, el cual es requerido por el muy duro exponencial de la pared de la potencial. Para obtener información sobre cómo estas funciones de Bessel se comportan, pruebe las Funciones de Orden Imaginario inciso en el DLMF; particularmente importantes resultados son asymptotics en $K_{i|\nu|}$ gran $x$ y para el oscilatoria de la región. El último es
$$
{K}_{{i\nu}}\left(z\right)=-\left(\frac{\pi}{%
\nu\mathop{\sinh}\left(\pi\nu\right)}\right)^{{\frac{1}{2}}}%
\mathop{\sen}\left(\nu\mathop{\ln}\left(\tfrac{1}{2}%
z\right)-\gamma_{\nu}\right)+\mathop{O}\left(z^{2}\right),
$$
así que la forma asintótica de la función de onda es de la forma $\psi(x)\sim\sin\left(\sqrt{E_n}x\right)$, como debe ser. (Nótese, sin embargo, que esto tiene poco de física más allá de la norma: la información sobre el potencial de la variación está codificado en el cambio de la frecuencia instantánea como, por ejemplo, en estas fórmulas, y requeriría de beefier matemáticas.)
